3.1勾股定理（七大题型）-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）八年级上册数学《第3章 勾股定理》 3.1 勾股定理 知识点 勾股定理 ●勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. ◆1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形； ◆2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边. ◆3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、b2 = c2 - a2；、、. 【拓展】 ◎1、锐角三角形的三边关系是：在锐角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边， 则a2+b2＞c2. ◎2、钝角三角形的三边关系是：在钝角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边， 则a2+b2＜c2. 知识点二 勾股定理的证明 ●通过拼图证明勾股定理的思路： （1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变. （2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式. （3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论. ●下面列举几种证明方法： ◆1、“赵爽弦图” 证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即c2ab×4+（b﹣a）2， 化简得：a2+b2＝c2． ◆2、我国数学家邹元治的证明方法 证明：在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即（a+b）2＝c2ab×4， 化简得：a2+b2＝c2． ◆3、美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法” 证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即（a+b）（a+b）ab×2c2， 化简得：a2+b2＝c2． 题型一 利用勾股定理求直角三角形的边长 【例题1】在直角三角形中，两条直角边的长分别为9和12，则斜边的长为 　 　． 解题技巧提炼 利用勾股定理求直角三角形的边长的步骤：一分，即分清哪条边是斜边，哪条边是直角边；二代，即将已知边长代入a2 + b2 = c2（c为斜边）；三化简求值，若已知的两边可能都是直角边，也可能是直角边与斜边，则应利用分类讨论思想分两种情况讨论. 【变式1-1】已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b． （1）如果a＝7，b＝24，求c； （2）如果a＝12，c＝13，求b． 【变式1-2】（2022秋•东方期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1-3】（2022秋•新泰市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离是（　　） A． B．3 C． D．2 【变式1-4】（2021春•连州市期中）如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD等于（　　） A．10 B．12 C．24 D．48 【变式1-5】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，连接CD，则CD的长为 　 ． 【变式1-6】（2022春•河北区期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长． 【变式1-7】如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，CE是AB边上的中线，CD是AB边上的高，且AE＝5． （1）求CD的长； （2）求DE的长． 题型二 勾股定理的证明 【例题2】勾股定理的验证方法很多，用面积（拼图）证明是最常见的一种方法．如图所示，一个直立的长方体在桌面上慢慢地倒下，启发人们想到勾股定理的证明方法，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，证明中用到的面积相等关系是（　　） A．S△ABC+S△ABD＝S△AFG+S△AEF B．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEF C．S△BDH＝S△FGH D．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEF+S△FGH 解题技巧提炼 勾股定理的证明主要是通过拼图，利用面积的关系完成的，拼图常用补拼法和叠合法两种方法，补拼时要无重叠，叠合时要无空隙；而用面积关系验证勾股定理时的关键是要找到一些特殊图形（如直角三角形，正方形等）的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的. 【变式2-1】（2022春•三门峡期末）我国是最早了解勾