单元高难问题01探索性问题（各大名校30题专项训练）-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修第一册）

单元高难问题01探索性问题（各大名校30题专项训练） 【高难问题突破方案与技巧】 探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目。一般可采用两种方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算。 〖关键技巧〗空间向量适合解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、结论、推理，只需要通过坐标运算进行判断。解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，能更简单、有效地解决问题，应善于运用这一方法解题。 【各大名校30题专项训练】 1．（2023春·广西柳州·高二柳州市第三中学校考阶段练习）如图所示，在四棱柱中，侧棱⊥底面，,，，，为棱的中点，是的中点. (1)求证：∥平面； (2)求证：⊥平面； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在，求，若不存在，请说明理由. 2．（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，． (1)求证：平面； (2)求点到直线的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由． 3．（2023春·安徽·高二马鞍山二中校联考阶段练习）如图所示，在四棱锥中，侧面为边长为2的等边三角形，底面为等腰梯形，，，底面梯形的两条对角线和互相垂直，垂足为，，点为棱上的任意一点.    (1)求证：； (2)是否存在点使得二面角的余弦值为，若存在求出点的位置；若不存在请说明理由. 4．（2023春·江苏连云港·高二连云港高中校考阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点，点是线段上的点（不包括两个端点）.    (1)设平面与平面相交于直线，求证：； (2)是否存在一点，使得二面角的余弦值为，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由； (3)当为线段的中点时，求点到平面的距离． 5．（2023春·福建厦门·高二厦门双十中学校考阶段练习）如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．      (1)若平面平面，证明：； (2)点是棱上一动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 6．（2022秋·福建厦门·高二福建省厦门第二中学校考阶段练习）在四棱锥中，底面是正方形，平面底面，，E是的中点． (1)求证：面； (2)若，则棱PB上是否存在一点F，使得平面与平面EBD的夹角的余弦值为？若存在，请计算出的值，若不存在，请说明理由. 7．（2022春·江苏扬州·高二江苏省江都中学阶段练习）光学器件在制作的过程中往往需要进行切割，现生产一种光学器件，有一道工序为将原材料切割为两个部分，然后在截面上涂抺一种光触媒化学试剂，加入纳米纤维导管后粘合.在如图所示的原材料器件直三棱柱中，，现经过作与底面所成角为的截面，且截面与，分别交于不同的两点， . (1)求证：平面； (2)当和分别为和的中点时，需要在线段上寻找一个点，用纳米纤维导管连接，使得与所在直线的夹角最小，试求出纤维导管的长. 8．（2022秋·广东珠海·高二珠海市实验中学校考阶段练习）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E为BC的中点. (1)证明：平面ABCD (2)在线段AN上是否存在点S，使得平面AMN，如果存在，求出线段AS的长度. 9．（2022秋·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）如图所示，在梯形ABCD中，，四边形ACFE为矩形，且平面，． (1)求证：平面BCF； (2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的正弦值为． 10．（2022秋·山东菏泽·高二菏泽一中校考阶段练习）如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，. (1)求证：BF∥平面CDE； (2)求二面角的余弦值； (3)判断线段BE上是否存在点Q，使得平面CDQ⊥平面BEF？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 11．（2023春·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学校考阶段练习）如图，在三棱柱中，AC＝BC，四边形是菱形，，点D在棱上，且． (1)若，证明：平面平面ABD． (2)若，是否存在实数，使得平面与平面ABD所成得锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 12．（2021秋·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校考阶段练习）如图1，在中，，，A，D分别为棱BM，MC的中点，将沿AD折起到的位置，使，如图2，连结PB，PC. (1)若E为PC中点，求直线D