专题05用空间向量研究距离、夹角问题（2个知识点6种题型1个易错点1种高考考法）-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修第一册）

专题05用空间向量研究距离、夹角问题（2个知识点6种题型1个易错点1种高考考法） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1：空间距离的向量求法 知识点2：空间角的向量求法 【方法二】 实例探索法 题型1：用空间向量研究点线距 题型2：用空间向量研究点面距 题型3：向量法求两直线的夹角 题型4：向量法求直线与平面的夹角 题型5：向量法求二面角 题型6：用空间向量解决与距离、夹角有关的探索性问题 【方法三】 差异对比法 易错点：忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 【方法四】 仿真实战法 考法：向量法求二面角 【方法五】 成果评定法 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1：空间距离的向量求法 设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则 dA，B＝||＝＝． 知识点2：空间角的向量求法 空间向量的夹角公式 设空间向量＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3）， cos＜＞＝＝ 注意： （1）当cos＜＞＝1时，与同向； （2）当cos＜＞＝﹣1时，与反向； （3）当cos＜＞＝0时，⊥． 向量法：用空间向量求平面间夹角的方法： 设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则 （1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞， 此时cosθ＝cos＜，＞＝． （2）当＜＜，＞＜π时，θ＝π﹣＜，＞， cosθ＝﹣cos＜，＞＝﹣． 【方法二】实例探索法 题型1：用空间向量研究点线距 1．（2023秋·高二单元测试）已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高二专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 3．（2023秋·高二课时练习）已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为 . 4．（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，，底面ABCD为菱形，边长为2，，，且，异面直线PB与CD所成的角为.    (1)求证:平面ABCD; (2)若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离. 题型2：用空间向量研究点面距 5．（2022秋·浙江温州·高二校联考期中）已知，则点O到平面ABC的距离是（    ） A． B． C． D． 6．（2023春·广东深圳·高二校考期中）若平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D． 7．（2023·全国·高二专题练习）若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是 ． 8．（2023·全国·高二课堂例题）已知，，，则原点O到平面的距离为 ． 9．（2023·江苏·高二专题练习）已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为 ． 10．（2023春·贵州毕节·高二校考阶段练习）在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，且，为的中点，则到平面的距离为 ． 11．（2023春·福建泉州·高二校考期中）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，设点满足．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 题型3：向量法求两直线的夹角 12．（2022秋•眉山期末）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 13．（2022秋•重庆期末）在棱长为2的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，M，N，O，P分别为BC，CC′，C′D′，AA'的中点． （1）求证：MO∥平面BDD′； （2）求异面直线BN与PB'所成角的余弦值． 14．（2022秋•丰台区期末）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC＝2，M是棱CC1上任意一点． （Ⅰ）求证：AM⊥BD； （Ⅱ）若M是棱CC1的中点，求异面直线AM与BC所成角的余弦值． 15．（2022秋•密云区期末）如图所示，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与正方形ABCD所在平面互相垂直，AF∥DE，DE⊥AD，AF＝AD＝DE＝2． （Ⅰ）求证：BF∥平面CDE； （Ⅱ）求证：EF⊥平面CDF； （Ⅲ）若点H在线段DE上，且EH＝1，求异面直线AH与BE所成角的余弦值． 题型4：向量法求直线与平面的夹角 16．（2022秋•厦门期末）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段BB1的中点，则直线C1E与平面A1D1B所成角的正弦值为 　　 ． 17．（2022秋•东光县期中）在棱长均为6的