4.4对数的概念与计算，积、商、幂的对数（课件）-湖南科技版中职数学基础模块上册

4.1 4.2 4.3 4.4 实数指数幂及其运算法则 指数函数的性质与图像 指数函数的应用举例 对数的概念与计算，积、商、幂的对数 第四章 指数函数与 对数函数 CONTENTS 4.5 4.6 不等式的应用 含有绝对值的不等式 4.4 对数的概念与计算，积、商、幂的对数 4.4 对数的概念与计算，积、商、幂的对数 在4.3节的例1中，某城市现有人口100万，按年自然增长率1.2%计算，多少年后该城市的人口将达到160万？在例1后面的评注中，我们指出这个城市从现在起x年后的人口y（百万）为 y=1.012x. 设b年后该城市的人口达到160万，则b应当满足 1.012b=1.6. 这是由指数函数y=1.012x的函数值1.6求自变量x的值b.像这样的问题在实际生活中经常遇到，因此我们给满足（1）式的b取一个名字，称b是以1.012为底1.6的对数. （1） 教学分析 4.4 对数的概念与计算，积、商、幂的对数 定义设a>0且a≠1.对于N∈R+（正实数集），如果有b∈R使得 ab=N, 那么称b是以a为底N的对数，并且把b记成logaN，即 logaN=b, 其中N称为真数. 抽象 （2） （3） 教学分析 4.4 对数的概念与计算，积、商、幂的对数 由于指数函数y=ax的值域是正实数集R+，因此对于每一个N∈R+，都有以a为底N的对数b. 由于当a>1时，指数函数y=ax是增函数；当0<a<1时，指数函数y=ax是减函数，因此对于任意给定的N∈R+，以a为底N的对数是唯一的一个数，如图4-6所示. 抽象 教学分析 4.4 对数的概念与计算，积、商、幂的对数 从对数的定义和上述结论得出，设a>0且a≠1，则 抽象 我们把ab=N叫作指数式，把logaN=b叫作对数式.（4）式表明了指数式与对数式的关系. （4） 教学分析 4.4 对数的概念与计算，积、商、幂的对数 评注 由于指数函数的值域是正实数集R+，因此 ［1］零和负数没有对数. 由于当a>0且a≠1时，a0=1,因此 ［2］1的对数是0，即loga1=0. 由于a1=a,因此 ［3］底的对数等于1，即logaa=1. 抽象 教学分析 4.4 对数的概念与计算，积、商、幂的对数 从对数的定义得出： ［4］设a>0且a≠1，则对于任意N∈R+，有 抽象 从对数的定义得出： ［5］设a>0且a≠1，则对于任意b∈R,有 （5） （6） 教学分析 4.4 对数的概念与计算，积、商、幂的对数 解： 例1：求下列对数的值： 教学方案 4.4 对数的概念与计算，积、商、幂的对数 解： 例2：计算下列各式的值： 教学方案 4.4 对数的概念与计算，积、商、幂的对数 按照整存整取一年期存入银行的钱，到期后连本带息转存，这时利息又将得到利息.这种问题称为复利问题. 抽象 从某种类型的复利问题可以得到一个无理数e，它的近似值是 e≈2.718281828. 以e为底的指数函数y=ex在自然科学与实际问题中起着非常重要的作用. 以e为底的对数称为自然对数，把logeN简记作lnN. 教学分析 4.4 对数的概念与计算，积、商、幂的对数 设a>0且a≠1，N∈R+,logaN与lnN的关系是什么？ 设logaN=b,则ab=N.两边取自然对数得 lnab=lnN. 根据（5）式，eln　a=a.于是根据（6）式得 lnab=ln（elna)b=lneblna=blna. 从（7）式和（8）式得 lnN=blna. 探索 （7） （8） 教学分析 4.4 对数的概念与计算，积、商、幂的对数 由此得出 于是 探索 （9） 公式（9）称为换底公式. 教学分析 4.4 对数的概念与计算，积、商、幂的对数 利用换底公式，对于a>0且a≠1，把求logaN的问题转化为求自然对数的问题. 我们也可以把求logaN的问题转化为求以c(c>0且c≠1)为底的对数的问题. 设logaN=b，则ab=N.两边取以c为底的对数得 探索 教学分析 4.4 对数的概念与计算，积、商、幂的对数 因此 由此得出 探索 根据(5)式， .于是根据(6)式得 教学分析 4.4 对数的概念与计算，积、商、幂的对数 上面的公式（10）是换底公式的一般形式. 探索 从而 （10） 教学分析 4.4 对数的概念与计算，积、商、幂的对数 屏幕显示 探索 可以利用计算器求自然对数.例如，求ln8.079,依次按下列各键： 因此 ln8.079≈2.089. 教学分析 4.4 对数的概念与计算，积、商、幂的对数 根据对数的定义和换底公式得 探索 在本节开头的例子中，设经过b年后这个城市的人口将达到160万，则 1.012b=1.6. 依次按下列各键： 教学分析 4.4 对数的概念与计算