21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 教学设计 2022--2023学年人教版数学九年级上册

*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 教材分析 一元二次方程的根与系数的关系是选学内容,是学生在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的.它深化了两根与系数之间的关系,是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具,可以用来解决一元二次方程快速验根的问题,还可以解决其他一些相关的简单问题,是方程理论的重要组成部分. 备课素材 一、导入新知 【情景导入】 十一黄金周刚刚过去,相信同学们一定去过许多美丽、难忘的旅游景点.下面,老师带着大家到法国观光旅游好不好?(出示多媒体)让学生在聆听理查德·克莱德曼的《致爱丽丝》中欣赏:法国文化——埃菲尔铁塔,时装秀,红酒文化,巴黎圣母院.文化是相通的,科学更是这样.在16世纪的法国,诞生了一位伟大的数学家,让我们一起走进历史,了解伟人——代数学之父韦达. 【说明与建议】 说明:教师借助刚刚过去的十一黄金周为话题,让学生一边聆听理查德·克莱德曼的钢琴曲,一边欣赏法国文化图文,阅读了解历史中的代数学之父——韦达.建议:文化与科学密不可分,通过学生欣赏图片,聆听钢琴曲,让同学们融入轻松、愉快、高雅的氛围之中,笔锋一转,带领学生了解法国伟大的数学家——韦达,从而导入新课,自然过渡. 【复习导入】 完成下列表格: 方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2-5x+6=0 x2+3x-10=0 2x2-3x-2=0 3x2-4x+1=0 【说明与建议】 说明:复习巩固利用公式法求一元二次方程的根,为进一步明确一元二次方程根与系数之间的联系埋下伏笔.建议:因为利用公式法解一元二次方程学生已经掌握,可以将本班学生分为四个小组分别计算,从而节约时间. 二、命题热点 命题角度1 根据根与系数的关系确定方程的解 利用一元二次方程根与系数的关系求得x1+x2和x1x2的值,然后再将已知的根代入x1+x2或x1x2中,求得另一根. 1.已知x=4是一元二次方程x2-3x+c=0的一个根,则另一个根为-1. 命题角度2 利用根与系数的关系求关于方程根的代数式的值 先将要求的代数式变形为含有两根之和或两根之积的式子,再利用根与系数的关系代入求值计算即可.关于两根常见的几种代数式变形如下: 1.x+x=(x1+x2)2-2x1x2. 2.(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2. 3.(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1. 4.+=. 5.+==. 6.|x1-x2|==. 2.(攀枝花中考)已知方程x2-2x-8=0的两根为α,β,则α2+β2=20. 3.(雅安中考)已知一元二次方程x2+x-2 021=0的两根分别为m,n,则+的值为. 4.(宜宾中考)若m,n是一元二次方程x2+3x-9=0的两个根,则m2+4m+n的值是(C) A.4 B.5 C.6 D.12 命题角度3 利用根与系数的关系确定参数的值 将代数式变形为用两根的和及两根的积表示的形式,再借助根与系数的关系便可求得参数的值. 5.(南京中考)设x1,x2是关于x的方程x2-3x+k=0的两个根,且x1=2x2,则k=2. 6.(仙桃中考)关于x的方程x2-2mx+m2-m=0有两个实数根α,β,且+=1,则m=3. 命题角度4 一元二次方程根与系数的关系和根的判别式的综合应用 一元二次方程根与系数的关系是方程知识中一个十分重要的知识点,它不仅很好地揭示了一元二次方程的内部规律,而且是以后解决二次函数的相关综合题的重要手段,对培养学生的数学思维和创新思维能力有很好的促进作用.此知识作为考点出现在各地中考试题中的频率一直很高,是数学命题者青睐的一个重要内容. 7.已知x1,x2是一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0的两个实数根. (1)是否存在实数a,使-x1+x1x2=4+x2成立?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由. (2)求使(x1+1)(x2+1)为负整数的实数a的整数值. 解:(1)根据题意,得Δ=(2a)2-4×a(a-6)=24a≥0.解得a≥0. 又∵a-6≠0,∴a≠6. 由根与系数关系,得x1+x2=-,x1x2=. 由-x1+x1x2=4+x2 ,得x1+x2+4=x1x2,∴-+4=,解得a=24. 经检验,a=24是方程-+4=的解.∴存在a=24,使-x1+x1x2=4+x2成立. (2)原式=x1+x2+x1x2+1 =-++1 =. ∵为负整数,∴6-a为-1或-2或-3或-6. 解得a=7或8或9或12. 三、数学文化拓展阅读 韦达定理 韦达定理是指一元n次方程中根和系数之间的关系,中学课本里一般特指一元二次方程的根与系数的关系.法国数学家韦达最早发现了代数方程的根与系数之间的这种关系,因此人们把这个关系称为韦达定理. 早在公元前2000年左右,古巴比伦的数学家就能解