第3章 3.4 圆周角和圆心角的关系(教案)-【初中学霸创新题】2023-2024学年九年级下册数学同步教案(北师大版)

4.1 圆周角和圆心角的关系 （第1课时） 课题 圆周角和圆心角的关系（第1课时） 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P78-80 教学目标 1. 理解圆周角的概念； 2. 掌握圆周角和圆心角之间的关系； 3. 掌握同弧或等弧所对的圆周角相等； 4. 会运用圆周角定理及其推论进行有关的证明和运算。 教学重难点 重点：理解圆周角的概念；掌握圆周角与圆心角之间的关系定理及其第一个推论。 难点：圆周角和圆心角关系的证明。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，导入新课 “射门”无疑是足球运动中最动人心魄的时刻。在一场射门游戏中，如果球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关，那么当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC。（多媒体呈现） 师生活动：教师提出问题，学生思考交流回答。 教师活动：（1）这三个角有什么特点？ （2）这三个角的大小有什么关系？ 学生活动：思考交流回答。（1）这三个角的顶点都在圆上，角的两边都与圆相交。 （2）通过用量角器测量发现，这三个角的大小一样。（这里教师可以引导学生在纸上画出这三个角，然后通过测量比较）。 教师活动：引出概念，提出问题，引出课题。之前我们把顶点在圆心上的角叫做圆心角。像这样，顶点都在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角，我们称它为圆周角。 那么，这三个圆周角真的相等吗？它除了相等还有哪些性质？从今天这节课开始，我们将一块儿探究圆周角的相关性质。（板书课题：圆周角和圆心角的关系 第1课时） 以足球射门为背景，创设情境，渗透数学与生活息息相关的思想，通过学生观察思考引出圆周角定义以及本节课课题。 2.实践探究，学习新知 【探究】探索圆周角和圆心角的关系 请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角，并观察圆周角与圆心角有几种位置关系。（多媒体呈现） 师生活动：教师提出问题，学生思考交流回答。 教师活动：请同学们动手画出⊙O，在圆上任取两点A，B，并画出对的圆心角和圆周角，观察所对的圆周角有几个？ 学生活动：动手操作并回答。有无数个。 教师活动：在你们所画的图中，圆周角和圆心角有几种位置关系？ 学生活动：思考交流讨论回答展示。有三种。分别是圆心在圆周角的一边上,圆心在圆周角的内部,圆心在圆周角的外部。 教师活动：那同学们所画的所对的圆心角和其所对的圆周角之间有什么关系？你是通过什么方法得到的？ 学生活动：思考交流回答。通过测量发现，所对的圆周角的度数等于所对的圆心角度数的一半。 教师活动：几何画板演示同弧所对圆心角和圆周角的大小关系。通过画图，我们知道：以圆上任意一点为顶点的圆周角有无数多个，但它们与圆心的位置关系只有三种，而这三种位置关系中，通过测量我们发现圆周角都等于他所对弧上的圆心角度数的一半，那么我们可不可以通过证明来验证下呢？（证明难度较大，教师注意引导）由特殊到一般，利用转化思想，将圆心在内部时转化为两个角的和，圆心在外部时转化为两个角的差。难度较大，教师注意引导。 学生活动：学生思考交流讨论交流，学生代表展示并讲解推理过程。学生：（1）第一种情况：当圆心O在圆周角(∠ACB)的一边(BC)上时。 ∵∠AOB是△ACO的外角，∴∠AOB=∠A+∠C。 ∵OA=OC，∴∠A=∠C， ∴∠AOB=2∠C，即∠C=∠AOB。 （2）第二种情况：当圆心O在圆周角(∠AOB)的内部时。 过点C作直径CD，由第一种情况可得： ∠AOD=∠A+∠ACD，∠BOD=∠B+∠BCD， ∴∠AOD+∠BOD=∠A+∠ACD+∠B+∠BCD， ∴∠AOB=2∠ACB，即∠ACB=∠AOB。 （3）第三种情况：当圆心在圆周角(∠AOB)的外部时。 过点C作直径CD，由第一种情况可得： ∠AOD=∠A+∠ACD，∠BOD=∠B+∠BCD， ∴∠AOD－∠BOD=∠A+∠ACD－（∠B+∠BCD）， ∴∠AOB=2∠ACB，即∠ACB=∠AOB。 教师活动：出示圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。（多媒体呈现） 教师活动：现在同学们能够用说理的方法说明在刚才的足球射门问题中，三个角为什么一样大了吗？通过学生解决本节一开始的问题，由教师引出圆周角定理的推论。 学生活动：可以。如图，设圆心为O，连接OA，OC，AD，CD，EA，EC。 有圆周角定理可得：∠ABC=∠AOC， ∠ADC=∠AOC，∠AEC=∠AOC。 ∴∠ABC=∠ADC=∠AEC。 教师活动：我们知道同弧或等弧所对的圆心角相等，所以（引出圆周角定理推论）同弧或等弧所对的圆周角相等。 让学生经历画图的过程，确定特定的弧所对的圆