第2章 2.4 二次函数的应用(教案)-【初中学霸创新题】2023-2024学年九年级下册数学同步教案(北师大版)

4 二次函数的应用（第1课时） 课题 二次函数的应用（第1课时） 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P46-48 教学目标 1.经历探究矩形和窗户透光最大面积问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。 2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，增强解决问题的能力。 教学重难点 重点：1.经历探究矩形和窗户透光最大面积问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。 2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，增强解决问题的能力。 难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，导入新课 英国在15世纪末兴起了一场持续300余年的圈地运动，当时的封建地主、新贵族和新兴的资产阶级，强行用栅栏、围墙、壕沟等将古代农村公社残余下来的牧场、原始森林以及沼泽围圈起来作为牧场，末封建地主想要用1000m的围墙，一侧靠河（河流看作直线），圈一块130 000m2的矩形牧场，同学们觉得他能做到吗？如果做不到，他最多能圈多大面积的牧场？（多媒体呈现） 教师：其实利用二次函数，能够较为方便的求出最大面积，而今天这节课，我们就一块儿探究下如何利用二次函数确定相关图形的最大面积。（板书课题：二次函数的应用 第1课时） 以英国古代圈地运动为背景，创设情境，有助于提升学生学习的兴趣，同时引出问题和本节课课题。 2.实践探究，学习新知 【探究1】几何图形的面积最值问题 例1 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，AF=40 m，AE=30 m， (1)如果设矩形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为y m2,列出y关于x的函数关系式，写出x的取值范围。（多媒体呈现） （3）当x取何值时,y有最大值?最大值是多少？ 师生活动：教师提出问题，学生思考交流回答。 学生：（1）由题意，得DC=AB=x m，DC∥AB，， ∴AD=AE－DE=AE－DCtan F=m。 （2）由题意，得y=x(30－x）(0＜x＜40）。 （3）y=x(30－x）=－x2+30x=－（x－20）2+300， 所以，当x=20时，y最大=300。 教师：如果将矩形ABCD改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？ 学生：由勾股定理，得大直角三角形的斜边为50 m，斜边上的高24 m。 设矩形的一边AD = x m，另一边AB = a m，则，得。 所以，矩形的面积为： 。 因此，当x = 25时，。 教师：综上，如果我们要求一个矩形的最大面积，我们的解题思路是什么？ 学生：设未知数x表示矩形的一边长——用含未知数x的代数式表示另一边长，并求出自变量x的取值范围——列出面积y与未知数x之间的二次函数表达式——在取值范围内求出二次函数的最值。 例2 某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部分是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多?(结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少? (结果精确到0.01m2) 师生活动：教师出示问题，学生思考交流回答。 学生：∵7x+4y+πx=15， ∴。 ∵0<x<15，且0<<15， ∴0<x<1.48。 设窗户的面积是S m2，则 S= = = =。 ∴当x=≈1.07时，窗户通过的光线最多。此时，窗户的面积约为4.02 m2。 【归纳总结】 教师：同学们，我们已经求过两类几何图形的最大面积，我们在解题时的共同思路是什么？ 学生：设未知数——用未知数表示面积，得到以面积为函数值的二次函数表达式——化顶点式，在自变量取值范围内求函数最值——得到最大面积。 【探究2】抛物线型问题 教师：生活中，有许多抛物线形状的物体，同学们都知道有哪些？ 学生：拱桥、隧道、喷泉... ... 教师：接下来我们就一块儿探究下二次函数中的抛物线型问题。 例3 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成。长方形的长是8 m，宽是2 m，抛物线可以用表示。 （1） 一辆货运卡车高4 m，宽2 m，它能通过该隧道吗？ （2） 如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货运卡车是否可以通过？（多媒体呈现） 教师：同学们思考一下，怎么判断货车能否通过隧道，方法是什么？ 学生：可以通过计算隧道内1m宽、两米宽分别对应的最大高度，然后跟该卡车的高度进行对比，若该卡车高度小于最