第4章 5 相似三角形判定定理的证明(教案)-【初中学霸创新题】2023-2024学年九年级上册数学同步教案(北师大版)

5 相似三角形判定定理的证明 课题 第*5节 相似三角形判定定理的证明 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P99-102 教学目标 1.了解相似三角形判定定理的证明过程，发展推理能力，会证明相似三角形判定定理。 2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题。 教学重难点 重点：会证明相似三角形判定定理。 难点：运用相似三角形的判定定理解决相关问题。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 教师提问：相似三角形的判定方法有哪些？ 学生回答：（1）两角分别相等的两个三角形相似。 （2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 （3）三边成比例的两个三角形相似。 同学们能对它们进行证明吗？在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，这节课（建议2~3课时教学），我们来学习相似三角形判定定理的证明。（教师板书课题： 第*5节 相似三角形判定定理的证明） 回顾三角形相似判定定理，为证明判定定理做准备。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 三角形相似判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似。 教师活动：引导学生根据文字命题画图。 教师活动：引导学生根据图形和文字命题写出已知和求证。 已知：如图，△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′。 求证：△ABC∽△A'B'C'。 教师活动：鼓励学生自主自主证明，如若学生证明有难度，教师可以指导学生证明思路，再让学生尝试证明。 证明思路：首先在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A'B'，作DE∥BC，然后根据相似三角形的定义证明△ADE∽△ABC；接着证明△ADE≌△A'B'C'。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则 ∠ADE=∠B，∠AED=∠C， （平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）。 过点D作AC的平行线，交BC于点F，则 （平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）。 ∴。 ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DFCE是平行四边形。 ∴DE＝CF。 ∴。 ∴。 而∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC。 ∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′，AD=A′B′， ∴△ADE≌△A′B′C′。 ∴△ABC∽△A'B'C'。 教师活动：教师给出证明过程，引导学生进行比对，查找不足，教师可以对铺底部分挖空，调动学生注意力，强化学生训练。 【探究2】 三角形相似判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 教师活动：鼓励学生类比探究1，按照“画图、写己知、求证、证明过程”的一般步骤自主完成判定定理2的证明。 已知：如图3，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，。 求证：△ABC∽△A′B′C′。 证明思路：首先在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A'B'，作DE∥BC，然后根据已证明的定理“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△ADE；接着证明△ADE≌△A'B'C'。 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则 ∠B=∠ADE，∠C=∠AED， ∴△ABC∽△ADE（两角分别相等的两个三角形相似）。 ∴。 ∵，AD=A′B′， ∴。 ∴。 ∴AE=A′C′。 而∠A=∠A′， ∴△ADE≌△A′B′C′。 ∴△ABC∽△A′B′C′。 【探究3】 三角形相似判定定理3 三边成比例的两个三角形相似。 教师活动：鼓励学生类比探究1和探究2，按照“画图、写己知、求证、证明过程”的一般步骤自主完成判定定理3的证明。 已知：如图，△ABC和△A′B′C′中，。 求证：△ABC∽△A'B'C'。 证明思路：首先在△ABC的边AB，AC（或它们的延长线）上截取AD=A'B'，AE=A'C'，连接DE；然后根据已经证明的定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△ADE；接着证明△ADE≌△A'B'C'。 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′，AE＝A′C′，连接DE。 ∵，AD=A′B′，AE=A′C′， ∴。 而∠BAC=∠DAE， ∴△ABC∽△ADE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 ∴。 又，AD=A′B′， ∴。 ∴。 ∴DE=B′C′。 ∴△ADE≌△A′B′C′。 ∴△ABC∽△A′B′C′。 证明相似三角形判定定理1。本活动的设计意在引导学生通过自