第11章平面直角坐标系（知识清单+典型例题）-【满分全攻略】2023-2024学年八年级数学上册同步讲义全优学案（沪科版）

第11章平面直角坐标系（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 一．点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 【例1】（2023春•芜湖期中）在平面直角坐标系中，点（m，n）位于第三象限，则（　　） A．m＜n B．m＞n C．mn＞0 D．m+n＞0 【解答】解：∵点（m，n）位于第三象限， ∴m＜0，n＜0， ∴mn＞0． 故选：C． 【变式1】（2022秋•迎江区期中）若点N在第二象限，且到x轴的距离是1，到y轴的距离是3，则点N的坐标是（　　） A．（3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣1，3） D．（﹣3，1） 【解答】解：∵N在第二象限， ∴点N的横坐标小于0，纵坐标大于0； 又∵点N到x轴的距离是1，即点N的纵坐标为1；点N到y轴的距离为3，即点N的横坐标为﹣3， ∴点N的坐标是（﹣3，1）； 故选：D． 【变式2】（2023•安徽模拟）若点A（﹣m，n）在第三象限，则点B（m+1，n﹣1）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：∵点A（﹣m，n）在第三象限， ∴﹣m＜0，n＜0， ∴m＞0， ∴m+1＞0，n﹣1＜0， ∴B（m+1，n﹣1）在第四象限． 故选：D． 二．坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 【例2】（2023•定远县校级模拟）如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（﹣2，﹣2），“马”位于点（1，﹣2），则“兵”位于点（　　） A．（﹣1，1） B．（﹣4，1） C．（﹣2，﹣1） D．（1，﹣2） 【解答】解：如图， ∵“帅”位于点（﹣2，﹣2），“马”位于点（1，﹣2）， ∴原点在这两个棋子的上方两个单位长度的直线上且在马的左边，距离马的距离为1个单位的直线上，两者的交点就是原点O， ∴“兵”位于点（﹣4，1）． 故选：B． 【变式】如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中 （1）A→C（　　，　　），B→C（　　，　　）， C→D （　　，　　）； （2）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的最少路程； （3）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置． 【解答】解：（1）A→C（+3，+4），B→C（+2，0），C→D（+1，﹣2）； （2）1+4+2+1+2＝10； （3）点P如图所示． 三．坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 【例3】（2022春•镜湖区校级期末）已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列各题． （1）点P在x轴上，求出点P的坐标； （2）点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥y轴；求出点P的坐标； （3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2022+2022的值． 【解答】解：（1）∵点P在x轴上， ∴a+5＝0， ∴a＝﹣5， ∴点P的坐