专题4.1 成比例线段（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.1 成比例线段（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】两条线段的比 1. 两条线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么这两条线段的比就是它们的长度之比。即AB:CD= m:n，或写成其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项，如果把表示成比值k，那么，或. 2. 比例尺：在地图或工程图纸上，图上长度与它所表示的实际长度的比值通常叫比例尺，比例尺是两条线段的比的一种. 特别注意： 1. 两条线段的比是指两条线段长度的比，它是一个没有单位的正实数； 2. 两条线段的比具有顺序性，不能随意更换前项和后项. 【知识点2】成比例线段 1. 四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比（即它们长之比）等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段. 2. 比例中项：如果，那么b叫做a的比例中项，当a，b，c为一般实数时，则由（a，c同号）；当a，b，c为线段长时，则由. 特别注意： 1. 在通常情况下，四条线段a，b，c，d应该一致，但有时为了计算方便，也可以使a与b单位一致，c与d单位一致； 2. 四条线段a，b，c，d成比例是有顺序的，不能随意更改位置。 【知识点3】比例的性质 1. 比例的基本性质：； 2. 等比性质:; 3. 合比性质：. 【考点一】利用线段的比解决比例尺的问题 【例1】在一幅比例尺是1：60000000的地图上，量的甲乙两地的距离是15cm，一辆汽车以每小时120km的速度，从甲地开往乙地，需要多少时间？ 【答案】75小时 【分析】先根据比例尺的定义求出实际距离，再根据时间=路程÷速度得出答案． 解：（厘米） 900000000厘米＝9000千米， 9000÷120＝75（小时）， 答：从甲地开往乙地，需要75小时． 【点拨】本题主要考查了比例尺的知识，掌握定义是解题的关键．即比例尺＝图上距离÷实际距离． 【举一反三】 【变式1】一个机器零件的长度是8毫米，画在比例尺是的图纸上的长度是（    ） A．8分米 B．8毫米 C．8厘米 D．8米 【答案】C 【分析】根据比例尺图上距离：实际距离进行求解即可． 解：由题意得：图上距离：实际距离， ∴图上距离：8毫米， ∴图上距离为80毫米，即为8厘米， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了比例尺，熟知比例尺图上距离：实际距离是解题的关键． 【变式2】在比例尺为的地图上，量得甲乙两地的距离约为，则甲乙两地的实际距离约为 ． 【答案】20 【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离．根据比例尺关系即可直接得出实际的距离． 解：根据比例尺=图上距离：实际距离， ∴甲乙两地的实际距离为． 故答案为：20． 【点拨】考查了比例线段．能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换． 【考点二】利用线段的比求比值或线段的长 【例2】在中，；在中，，求与之比，与之比． 【答案】，， 【分析】在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的值，然后根据在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比求解即可． 解：如图，在Rt△ABC中， 根据勾股定理知，AC10cm， 则， 【点拨】本题考查了勾股定理的应用．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了两条线段的比的求法． 【举一反三】 【变式1】如图，以为斜边作等腰直角三角形，再以为圆心，长为半径作弧，交线段于点，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知是等腰直角三角形，设，可用含的式子表示的长，再根据以为圆心，长为半径作弧，可知的长，由此即可求解． 解：根据题意得，是等腰直角三角形，设， ∴， ∵以为圆心，长为半径作弧，交线段于点， ∴， ∴， 故选：． 【点拨】本题主要考查作图求线段的比值，理解题意，找出线段之间的大小关系是解题的关键． 【变式2】若，则 ． 【答案】3 【分析】先设，可得，，进而得出答案． 解：∵设， ∴，， ∴， 故答案为：3． 【点拨】本题主要考查了比例的计算，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【考点三】利用成比例线段的定义判断是否为成比例线段或求线段的长 【例3】如图所示，有矩形ABCD和矩形，AB＝8cm，BC＝12cm，＝4cm，＝6cm． （1）求和； （2）线段，AB，，BC是成比例线段吗？ 【答案】（1）， （2）线段，AB，，BC是成比例线段． 【分析】（1）根据已知条件，代入和，即可求得结果； （2）根据和的值相等，即可判断线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段． 解：（1）∵AB＝8cm，BC＝12cm，A′B′＝4cm，B′C′＝6cm．