2024届高考数学一轮复习第四章《三角函数与解三角形》第六节 解三角形

第四章 三角函数与解三角形 第六节 解三角形 必备知识·整合 关键能力·突破 微点培优 射影定理在解三角形中的应用 课标要求 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2.能用正弦定理和余弦定理解决简单的实际应用问题. 必备知识·整合 〔知识梳理〕 1.正弦、余弦定理的内容及其变形 在 <m></m> 中，角 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 所对的边分别是 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 为 <m></m> 的外接圆半 径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 <m></m> <m></m> 定理 正弦定理 余弦定理 变形 续表 2.在 <m></m> 中，已知 <m></m> 、 <m></m> 和 <m></m> 时，解的情况 图形 关系式 解的个数 1 2 1 1 3.三角形的常用面积公式 设 <m></m> 的内角 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 所对的边分别为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，其面积为 <m></m> . （1） <m></m> （ <m></m> 表示边 <m></m> 上的高）； （2） <m></m> __________=__________； （3） <m></m> （ <m></m> 为 <m></m> 的内切圆半径）. <m></m> <m></m> 4.实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目 标视线在水平视线上方的角叫______,目标视线在水平视线下方的角叫______（如 图甲）. 图甲 图乙 仰角 俯角 （2）方向角:一般指相对于正北或正南方向的水平锐角,如南偏东 <m></m> ,北偏西 <m></m> 等. （3）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如点 <m></m> 的方位 角为 <m></m> （如图乙）. （4）坡角:坡面与水平面的夹角. （坡度（坡比）:坡面的铅直高度与水平宽度之比） 5.解关于解三角形的应用题的一般步骤 （1）准确理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系; （2）根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题; （3）根据题意选用正弦定理或余弦定理进行求解; （4）将所得结论还原到实际问题中,注意实际问题中有关单位、近似计算等要求. 知识拓展 1.三角形内角和定理：在 <m></m> 中， <m></m> ； 变形： <m></m> . 2.大边对大角，大角对大边，如 <m></m> . 3.任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 4.三角形中的三角函数关系式： <m></m> ； <m></m> ； <m></m> ； <m></m> ； <m></m> . 5.在 <m></m> 中，内角 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 成等差数列 <m></m> ， <m></m> . 6.在斜 <m></m> 中， <m></m> . 〔课前自测〕 1. 概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）. （1） 三角形中三条边之比等于相应的三个内角之比.( ) × （2） 在 <m></m> 中，若 <m></m> ，则 <m></m> .( ) √ （3） 在 <m></m> 的六个元素中，已知任意三个元素，可求其他元素.( ) × （4） 当 <m></m> 时， <m></m> 为锐角三角形；当 <m></m> 时， <m></m> 为直角三角形；当 <m></m> 时， <m></m> 为钝角三角形.( ) × （5） 在三角形中，已知两边和任一角就能求三角形的面积.( ) √ 2. （新教材改编题）已知 <m></m> 的内角 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 所对的边分别为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> ( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> B [解析] 由 <m></m> ，得 <m></m> ，整理得 <m></m> ，解得 <m></m> （负值舍去