1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第一课时）-【赢在课堂】2023-2024学年高二数学同步精品课件（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.2用空间向量研究 距离、夹角问题(第一课时) 复习导入 用空间向量研究直线、平面的位置关系 线面位置关系的向量表示 点线面的向量表示 点 线 面 OP=xa+yb 平面的法向量: 复习导入 线线平行 线面平行 面面平行 使得 使得 复习导入 线线垂直 线面垂直 面面垂直 ,使得 新知探究 思考:空间中除了平行、垂直问题外还有什么问题呢?这些问题是否也可以用空间向量解决? 距离 夹角 点到线 点到面 线线 线面 线线角 线面角 面面角 让我们一起走近,研究一下吧? 两点间 面面 新知探究 思考1:“距离”在生活中处处可见,那么在数学中距离的定义是什么?到目前为止,你学过哪些平面内的距离吗?这些“距离”的定义有什么共同点呢? 思考2:空间中两点间距离是? 空间中两点之间的距离是指任意两个点连线的线段长度。 问题1:空间中两点间的距离公式? 设, 为空间中任意两点,则 新知探究 问题2:空间中点到直线的距离公式? ①如图,直线外一点到直线的距离是? ② 已知直线? 的单位方向向量为, ? 是直线? 上的定点,向量在直线上的投影向量为, 如何利用这些条件求? 设,则向量在直线上的投影向量. 在中,由勾股定理,得 新知探究 问题3:类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行直线之间的距离? 两条平行直线之间的距离点到直线的距离 问题4:空间中点到平面的距离公式? 如图,已知平面的法向量为,是平面内的定点, 是平面外一点,过点作平面的垂线,交平面于点 ① 平面? 外一点? 到平面? 的距离是? ②如何利用已知条件求? 新知探究 问题5:类似地,请同学们研究如何求平行于平面的直线? 到平面? 的距离?两个平行平面之间的距离呢? 线面、面面距离平面外一点到平面的距离 例题讲解 例6.如图,在棱长为1的正方体中, 为线段的中点,为线段的中点. (1)求点到直线的距离;(2)求直线到平面的距离. 解:以为原点,,,所在直线为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,,,,,所以, 例题讲解 例6. (1)求点到直线的距离;(2)求直线到平面的距离. (1)取,则 . 所以,点到直线的距离为 例题讲解 例6. (1)求点到直线的距离;(2)求直线到平面的距离. 解:(2)因为所以 所以平面.所以点到平面的距离即为 直线到平面的距离.设平面的法向量为,则 所以取则 所以,是平面的一个法向量. 又因为,所以点到平面的距离为 .即直线到平面的距离为. 例题讲解 练习1.如图,在长方体中有,, 求点到直线的距离. 解:如图,以点为原点,,,所在直线为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 , 取,,则 所以点到直线的距离为 例题讲解 用向量法求点到直线的距离一般步骤: ①建立空间直角坐标系; ②求直线的方向向量; ③计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影; ④利用勾股定理求点到直线的距离. 另外,要注意两条平行直线之间的距离点到直线的距离 例题讲解 练习2.在长方体中,, 求到直线的距离. 解:建立如图所示的空间直角坐标系.则,,, ∴,, ∴对应的单位向量为, ∴到直线的距离. 例题讲解 练习3.如图,在正三棱柱中,若,则点到直线的距离. 解:取的中点,取中点,连接,则平面, 连接,因为是等边三角形,所以, 因为,所以两两垂直, 故以为坐标原点,, , 为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系, ,,,, 故, 所以, 点 到直线 的距离为 例题讲解 练习4.如图,已知正方形的边长为,平面,且,分别为的中点. (1)求点到平面的距离;(2)求直线到平面的距离. 解:(1) 如图建立空间直角坐标系,则,,, ∴,,. 设平面的法向量为 则所以即 令则. 所以点到平面的距离. 例题讲解 练习4.如图,已知正方形的边长为,平面,且,分别为的中点. (1)求点到平面的距离;(2)求直线到平面的距离. 解:(2)由于分别为的中点,所以, 所以平面,所以点到平面的距离即为直线到平面的距离. 由于,又由(1)知平面的法向量为. 所以点到平面的距离为. 即直线到平面的距离为. 例题讲解 用向量法求点到平面的距离一般步骤: ①建立空间直角坐标系; ②求相关点的坐标; ③求相关向量的坐标(平面的法向量); ④距离. 另外,要注意线面、面面距离平面外一点到平面的距离. 例题讲解 练习5.如图,已知四棱柱是底面边长为的正四棱柱.若点到平面的距离为,求正四棱柱的高. 解:设正四棱柱的高为建立如图空间直角坐标系,有 ,, ,, 设平面的法向量为,则即 取得,所以点到平面的距离为 ,解得 故正四棱柱的高为2. 小结 用空间向量研究直线、平面的位置关系 点面距 点线距 线线距 线面距 面面距 两点间距离 $$