1.2矩形的性质与判定（讲+练，六大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（北师大版）

1.2矩形的性质与判定 学习目标：1.探索并证明矩形的性质定理和判定定理. 2.能灵活运用矩形的性质与判定，解决一些相关问题. 3.探索并证明直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 重点：探索并证明矩形的性质定理和判定定理. 难点：能灵活运用矩形的性质与判定，解决一些相关问题. 知识点一 矩形的定义 1. 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 . 【注意】菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是有一个角是直角. ， 矩形的定义可知： 矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. 即学即练（2019秋·八年级课时练习）下面对矩形的定义正确的是（   ） A．矩形的四个角都是直角 B．矩形的对角线相等 C．矩形是中心对称图形 D．有一个角是直角的平行四边形 知识点二 矩形的性质 1.矩形的四个角都是直角 数学表达式：∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴∠ DAB= ∠ DCB= ∠ ADC=∠ ABC =90° 2.矩形的对角线相等 数学表达式：∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ AC=BD 3.矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形 【注意】矩形有两条对称轴；对称轴分别为对折所在的直线；对称中心是两条对角线的交点. 4. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 . 数学表达式： 在 Rt △ ABC 中，∵∠ ACB=90°， AD=BD，∴ CD=1/2 AB (或 CD=AD=BD ) . 特别提醒： （1）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，矩形的计算问题经常转化成等腰三角形来解决 . （2）直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个面积相等的等腰三角形，此性质是解决线段倍分关系的重要依据，其逆命题是直角三角形的一种判定方法. 即学即练1 （1）（2023春·福建龙岩·九年级校考阶段练习）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（  ）． A．对角线相等 B．对角线平分一组对角 C．对角线互相垂直 D．两组对边分别平行 （2）（2023春·河南驻马店·八年级校考阶段练习）如图，在矩形中，交于点O，于点E，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 即学即练2 （1）（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期中）如图，矩形的对角线、相交于点O，，，若，则四边形的周长是 ．    （2）（2023·江西萍乡·统考模拟预测）如图，四边形为菱形，对角线相交于点于点，连接，若，求的度数． 知识点三 矩形的判定 1. 对角线相等的平行四边形是矩形 数学表达式：在 ▱ ABCD 中， AC=BD，∴四边形 ABCD 是矩形 . 2.有三个角是直角的四边形是矩形 数学表达式：在四边形 ABCD 中，∵∠ A= ∠ B= ∠ C=90°，∴四边形 ABCD 是矩形 . 判定矩形的常见思路: 1.从角的角度证明. (1)四边形 (有三个直角) 矩形； (2)平行四边形(有一个直角) 矩形. 2.从对角线的角度证明. (1) 平行四边形(对角线相等) 矩形； (2)四边形(对角线互相平分且相等) 矩形. 即学即练1 （1）（2023春·重庆·九年级重庆市育才中学校考阶段练习）下列四个命题说法正确的是（    ） A．一组对角相等的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 （2）（2023·全国·九年级假期作业）如图，在中，，D，E分别是边，的中点，将绕点E旋转得，则四边形的形状为 ．    即学即练2 （2023秋·山东菏泽·九年级统考期末）如图，在菱形中，对角线与交于点O，，．求证：四边形是矩形．    题型一 根据矩形的性质与判定求角度 例1 （2019秋·辽宁丹东·九年级校考阶段练习）将一个含30 °的角的直角三角尺(∠AMF＝90°)按如图所示放置在矩形纸板上，已知矩形纸板的长是宽的2倍，点M是BC边的中点，则∠AFE的度数为（   ） A．20° B．30° C．15° D．5° 举一反三 1-1.（2021春·广东江门·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°，则∠OAB的度数为(　　) A．40° B．50° C．60° D．70° 1-2.（2023·全国·九年级假期作业）如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝ 度． 1-3.（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知中，，．D是内的一点，且，． (1)_______°； (2)依题中的条件用尺规作图补全图形（保留作图痕迹，不写作法）； (3)求的度数． 题型二