2024届高考数学一轮复习第三章《一元函数的导数及其应用》专项突破一 函数与导数-第3课时 利用导数解决函数的零点问题

专项突破一 函数与导数 第3课时 利用导数解决函数的零点问题 微点培优 隐零点与极值点偏移问题 函数的零点问题的解题思路：一是利用导数判断函数的单调性，借助函数零点存在定理判断；二是将零点问题转化为函数图象的交点问题，结合函数的极值利用数形结合来解决；三是构造函数，将问题转化为相关函数问题进行求解. 题型一 数形结合法研究函数零点 例1 设函数 <m></m> , <m></m> . （1） 当 <m></m> （ <m></m> 为自然对数的底数）时，求 <m></m> 的极小值; [解析] 由题意知,当 <m></m> 时， <m></m> , 则 <m></m> , 所以当 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> 单调递减; 当 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> 单调递增， 所以当 <m></m> 时， <m></m> 取得极小值 <m></m> ， 所以 <m></m> 的极小值为2. （2） 讨论函数 <m></m> 的零点的个数. [解析] 由题意知 <m></m> ， 令 <m></m> ,得 <m></m> . 设 <m></m> ， 则 <m></m> . 当 <m></m> 时, <m></m> , <m></m> 在 <m></m> 上单调递增; 当 <m></m> 时, <m></m> , <m></m> 在 <m></m> 上单调递减， 所以 <m></m> 是 <m></m> 的唯一极值点,且是极大值点， 因此 <m></m> 时 <m></m> 取得最大值,所以 <m></m> 的最大值为 <m></m> . 又因为 <m></m> . 结合 <m></m> 的图象（如图所示）,可知当 <m></m> 时,函数 <m></m> 无零点; 当 <m></m> 时,函数 <m></m> 在 <m></m> 上有且只有一个零点;当 <m></m> 时,函数 <m></m> 有两个零点;当 <m></m> 时,函数 <m></m> 在 <m></m> 上有且只有一个零点. 综上所述,当 <m></m> 时,函数 <m></m> 无零点； 当 <m></m> 或 <m></m> 时,函数 <m></m> 有且只有一个零点; 当 <m></m> 时,函数 <m></m> 有两个零点. 方法感悟 含参数的函数零点个数问题，可转化为方程解的个数问题，若能分离参数，可将参数分离出来后，用 <m></m> 表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围. 迁移应用 1. （2023辽宁朝阳一模）已知函数 <m></m> ,曲线 <m></m> 在点 <m></m> 处的切线方程为 <m></m> . （1） 求实数 <m></m> 的值; [解析] <m></m> ， <m></m> , ∵曲线 <m></m> 在点 <m></m> 处的切线方程为 <m></m> ， <m></m> ,即 <m></m> ,得 <m></m> . （2） 设函数 <m></m> ,试判断函数 <m></m> 在 <m></m> 上零点的个数,并说明理由. [解析] 根据题意可得, <m></m> , <m></m> ,在同一个直角坐标系中作出 函数 <m></m> 和 <m></m> 的图象如图所示,由图 可知,当 <m></m> 时,函数 <m></m> 和 <m></m> 的图象只有一个交点,设这个交点的横坐标为 <m></m> ,当 <m></m> 时, <m></m> ,则 <m></m> 单调递 增;当 <m></m> 时， <m></m> ,则 <m></m> 单调递 减.∴当 <m></m> 时, <m></m> , <m></m> , <m></m> ,又 <m></m> ,∴函数 <m></m> 在 <m></m> 上无零点,在 <m></m> 上只有一个零点, 即函数 <m></m> 在 <m></m> 上只有一个零点. 题型二 利用函数性质研究函数零点 例2 （2022全国乙文，20，12分）已知函数 <m></m> . （1） 当 <m></m> 时，求 <m></m> 的最大值； [答案] 规范答题当 <m></m> 时， <m></m> , <m></m> ， 则 <m></m> ， 阅卷得分：正确写出函数的定义域，正确写出函数的导数，收获1分； 当 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> 单调递增； 当 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> 单调递减， 阅卷得分：正确求出函数的单调区间，收获1分； 所以 <m></m> . 阅卷得分：正确求出最大值，收获1分； [解析] 思路分析由导数确