专题7.3 等比数列及其前n项和（讲）-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（河北专用）

专题7.3 等比数列及其前n项和 【考纲要求】 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式、前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些实际问题． 【考向预测】 1. 等比数列的基本运算 2. 等比数列性质的应用． 3. 等比数列的设项问题． 4. 数列的求和问题 【本节内容结构】 【知识清单】 1. 等比数列的概念 (1)等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示． 符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个． 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m. (2)前n项和公式：Sn＝ 3.等比数列的主要性质 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． (4)三个数成等比数列可设三数为，b，bq，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为，，bq，bq3. 【考点分类剖析】 考点一 等比数列的基本运算 1. 若数列为等比数列，，，则公比（    ） A．-4 B． C．3 D．4 2．已知实数是2、8的等比中项，则（    ） A． B． C．4 D．5 3．若公比为的等比数列的前2项和为10，则该等比数列的第3项为（    ） A．15 B．－15 C．45 D．－45 4．在等比数列中，已知，，则等于（    ） A．128 B．128或－128 C．64或－64 D．64 5．已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（    ） A．－24 B．－28 C．－30 D．－32 【变式探究】1．若，，成等比数列且公比为，那么，，（    ） A．不一定是等比数列 B．一定不是等比数列 C．一定是等比数列，且公比为 D．一定是等比数列，且公比为 2．若－1，2，a，b成等比数列，则 ． 3．已知等比数列满足且，则 . 4．已知数列是公比为正数的等比数列，是其前n项和，，，则（   ） A．63 B．31 C．15 D．7 5．等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a3、a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn． 考点二 等比数列性质的应用 1．在等比数列中，若，则的公比（    ） A． B．2 C． D．4 2．在等比数列中，若，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 3．等比数列满足，，则（    ） A．56 B． C． D．112 4．在等比数列中，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．在正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和，若S10＝10，S30＝130，则S20的值为__ __． 【变式探究】1．已知等比数列满足，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 2. 记为等比数列的前项和，若则 ． 3. 在等比数列中，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 4．已知数列为等比数列，若，，则（    ） A．－4 B．2 C．4 D． 考点三 等比数列的设项问题 例. 三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数按从小到大的顺序依次为 . 『方法归纳』　等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或，a，aq． (2)若四个数成等比数列，可设为a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设，，aq，aq3． 【变式探究】有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，则这四个数为__ __． 考点四 数列的求和问题 例1. 已知数列. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 【方法归纳】　裂项求和法 对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法