第二十一章 一元二次方程 单元复习 2022-2023学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程 单元测试 2022-2023学年人教版数学九年级上册 知识点整理 一、定义和特点 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：ax的平方+bx+c=0(a≠0)，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax的平方+叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项。 二、方程起源 古巴比伦留下的陶片显示，在大约公元前2000年(2000 BC)古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大约西元前480年，中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。西元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。 7世纪印度的婆罗摩笈多(Brahmagupta)是第一位懂得用使用代数方程，它同时容许有正负数的根。 11世纪阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚(亦以拉丁文名字萨瓦索达著称)在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。 据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是(引自婆什迦罗第二)： 在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍; 在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方; 在方程的两边同时开二次方。 3、 性质 方程的两根与方程中各数有如下关系：x1+x2= -b/a，x1·x2=c/a(也称韦达定理) 方程两根为x1，x2时，方程为：x^2+(x1+x2)X+x1x2=0(根据韦达定理逆推而得) b^2-4ac>0有2个不相等的实数根，b^2-4ac=0有两个相等的实数根，b^2-4ac<0无实数根。 4、 一般解法 一元二次方程的一般解法有以下几种： 配方法(可解部分一元二次方程) 公式法(在初中阶段可解全部一元二次方程，前提：△≥0) 因式分解法(可解部分一元二次方程) 直接开平方法(可解全部一元二次方程) 提升练习 一、单选题 1．若方程 没有实数根，则 的值可以是（　　） A．-1 B． C．1 D． 2．设方程x2﹣3x＋2＝0的两根分别是x1，x2，则x1•x2＝（　　） A．﹣3 B．2 C．﹣2 D．3 3．已知一元二次方程x2﹣8x+12=0的两个解恰好是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（　　） A．14 B．10 C．11 D．14或10 4．若方程式 根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为何？（　　） A．1 B．8 C．16 D．61 5．若一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则的值是（　　） A．-1 B．3 C．2或-1 D．-3或1 6．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（　　） A．-2 B．-1 C．1 D．2 7．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+5=0，此方程可化为（　　） A． B． C． D． 8．下列方程中，是一元二次方程的有（　　）个． ①ax2+bx+c=0；②2x（x﹣3）=2x2+1；③x2=4；④（2x）2=（x﹣1）2⑤ =2x2． A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 9．在一次同学聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了份礼物，则参加聚会的同学的人数是　 　. 10．关于x的方程是一元二次方程，则m值为　 　． 11．关于x的一元二次方程x2+ x+1=0有两个相等的实数根，则m=　 　。 12．某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91．设每个支干长出x个小分支，则可得方程为　 　． 13．已知关于x的一元二次方程a（x﹣h）2+k＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3，则方程a（x﹣h﹣1）2+k＝0的解为　 　. 三、解答题 14．用适当的方法解下列方程： （1）（x﹣1）（x+3）=12； （2）9（x﹣2）2=4（x+1）2； （3）2x2﹣6x﹣1=0； （4）（3x﹣7）2=2（3x﹣7）． 15．已知：关于x的方程 .求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根. 16．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是4050元，生产1吨乙种药品的成本是4860元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 17．如图，利用一面长度为7米的墙，用20米长的篱笆能否围出一个面积为48平方米的矩形菜园？若能，求