专题02 实数与估算（知识串讲+9大考点）-【一遍过】2023-2024学年八年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

专题02 实数与估算 考点类型 知识一遍过 （一）实数的分类 （1）实数概念：有理数和无理数统称为实数 （2）实数的分类： ①按概念分类： ②按符号分类 （二）数轴上的点与实数的关系 （1）实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数． （2）应用勾股定理表示无理数：例如：的画法：画边长为1的正方形的对角线 在数轴上表示无理数通常有两种情况： ①尺规可作的无理数，如 ②尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001…… （三）实数的大小比较与估算 （1）实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法 （2）实数的估算：找到与被开方数临近的完全平方数，便可确定无理数的范围。例如：≤≤，即3≤≤4。 （四）实数的运算 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用。 实数的运算顺序： ①先算乘方和开方; ②再算乘除，最后算加; ③如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 考点一遍过 考点1：实数的分类 典例1：（2023春·安徽淮南·七年级统考期中）在实数：，，（1和3之间的2逐次加1个），，4，，中，无理数有(   ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】（2022秋·河南郑州·八年级河南省实验中学校考阶段练习）在实数．，0，，，（相邻两个2之间依次多一个0），3.141592，，，0.212112112，中有理数有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【变式2】（2019秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）下列各数：，，，， ，，0.585885888588885…（相邻两个5 之间8的个数逐次加1）中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】（2023春·湖南衡阳·七年级衡阳市实验中学校考期末）下列说法中，正确的是（　　） A．，，都是无理数 B．绝对值最小的实数是0 C．实数分为正实数和负实数两类 D．无理数包括正无理数、负无理数和零 考点2：实数的性质 典例2：（2023·吉林长春·统考中考真题）实数、、、伍数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（2023·浙江·七年级假期作业）对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．下列说法正确的个数是（    ） ①； ②； ③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0； ④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（2023春·广东韶关·七年级乐昌市乐昌实验学校校考期中）在下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 考点3：实数与数轴 典例3：（2021春·广东东莞·八年级校考期中）如图，为原点，令，过点作，且．以为圆心，为半径作弧，设弧与数轴右侧交点为点，则点在数轴上表示的数为（    ）    A．2 B．3 C．5 D． 【变式1】（2023春·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）上课时，李老师在黑板上写了一个实数，学生，，，争先恐后地说出了这个数的一些特征： 学生：在数轴上表示这个数的点在原点的左边； 学生：它是一个无理数； 学生：它的绝对值小于2； 学生：它的平方大于1． 老师表扬了，，，四个学生，因为他们都说对了，现在，请你猜猜看，老师在黑板上写下的这个数可能是下列四个数中哪一个？（　） A． B． C． D． 【变式2】（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在数轴上点A表示的数是2，点C表示的数是，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，正方形的面积为7，A是数轴上表示的点，以A为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点E，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 考点4：实数的大小比较 典例4：（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）数形结合是解决代数类问题的重要思想，在比较与的大小时，可以通过如图所示几何图形解决问题：若要比较与的大小，以下数形结合正确的是（    ）    A．   B．   C．