12.3 角的平分线的性质（第2课时）课件 2023—2024学年人教版数学八年级上册

人教版 数学 七年级 上册 第十二章 全等三角形 12.3 角的平分线的性质 （第2课时） 授课教师：凌凌一 目录 CONTENTS 1 2 自主学习 全程探究 3 4 全员提高 自我评价 PART 01自主学习 （一） 学习目标 1. 理解角平分线判定定理. 2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题. 3. 学会判断一个点是否在一个角的平分线上. PART 01自主学习 （二） 自学检测 1、如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝3 cm，当PD＝____cm时，点P在∠AOB的平分线上． PART 01自主学习 （二） 自学检测 2、如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则点P是 的平分线与 的平分线的交点． PART 02全程探究 探究一： 角平分线的判定 P A O B C D E 交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？ 角平分线的性质： 几何语言： 猜想: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB ， ∴ PD= PE. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上. 证明： 作射线OP， ∴点P在∠AOB的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， B A D O P E ∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP 结论：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 例1 如图，要在S区建一个集贸市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？ D C S 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ， D即为所求. O PART 02全程探究 探究二： 三角形的内角平分线 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等. 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. D E F A B C P N M 点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 点P在∠A的平分线上. D E F A B C P N M 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 例2 如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC,AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4. (1)求点O到△ABC三边的距离和. M E N A B C P O D 过点O作ON⊥BC , OE⊥AB,垂足分别为点N，点E . 由题意得， ON + OE + OM =12. B C A P 解：连接OC. M E N A B C P O D (2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积. 例2 如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC,AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4. PART 03全员提高 （一）统一观点 PART 03全员提高 （二）课堂检测 1、如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° PART 03全员提高 （二）课堂检测 2、到三角形三边距离相等的点是(　　) A．三边垂直平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 PART 03全员提高 （二）课堂检测 3、如图，河南岸有一个工厂在公路西侧