12.3 角的平分线的性质（第1课时）课件 2023—2024学年人教版数学八年级上册

人教版 数学 七年级 上册 第十二章 全等三角形 12.3 角的平分线的性质 （第1课时） 授课教师：凌凌一 目录 CONTENTS 1 2 自主学习 全程探究 3 4 全员提高 自我评价 PART 01自主学习 （一） 学习目标 1. 学会角平分线的画法. 2.探究并认知角平分线的性质. 3. 熟练地运用角平分线的性质解决实际问题. PART 01自主学习 （二） 自学检测 1、如图，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM＝PN. PART 01自主学习 （二） 自学检测 2、如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4， AB=14.则点P到AB的距离为_______. A B C P PART 02全程探究 探究一： 角平分线的画法 如图，是一个角平分仪，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗? A B C (E) D 其依据是SSS，两全等三角形的 对应角相等. A B M N C O 已知: ∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. （2）分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）画射线OC.射线OC即为所求. 已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的角平分线. A B O C 结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. PART 02全程探究 探究二： 角平分线的性质 已知：如图， ∠AOC= ∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE PD⊥OA， PE⊥OB， B A D O P E C 例1 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E，F. 求证：EB=FC. A B C D E F 证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE=DF， ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 例2 如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（　　） A．30° B．35° C．45° D．60° B 解析：作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD， ∴∠DAB=180°–∠ADC=70°. ∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD， ∴MN=MC，∵M是BC的中点， ∴MC=MB，∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB， ∴∠MAB=∠DAB=35°. N E D C B A 6 8 10 例3 在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则： (1)哪条线段与DE相等？为什么？ (2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED 的周长. 解：(1)DC=DE. 理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等. （2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，DC=DE，DB=DB， ∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)， ∴BE＝BC=8. ∴ AE＝AB–BE=2. ∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8. C D PART 03全员提高 （一）统一观点 PART 03全员提高 （二）课堂检测 1、如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= . E B D F A C G PART 03全员提高 （二）课堂检测 2、△ABC中， ∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是 . A B C D E PART 03全员提高 （二）课堂检测 3、用尺规