2.2 均值定理（讲）-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（广东适用）

2.2均值定理 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考试内容： １. 不等式的性质与证明 ２. 不等式的解法 ３. 不等式的应用 考试要求： 1．理解不等式的性质，明确不等式性质判断． 2．熟练掌握绝对值不等式、分式不等式和一元二次不等式的解法． 3．把不等式的解法和指数函数、对数函数性质结合． 4．把不等式的解法与函数的单调性和奇偶性结合． 5．把不等式的比较、证明与数列的相关性质结合． 1．均值定理 若，都是正数，则 (当且仅当＝时等号成立) 两个正数的算术平均值大于或者等于它们的几何平均值． 变形：（1） （2） 2. 利用均值定理求最值 （1）最小值 ①>0，>0； ②是定值； ③当且仅当＝时，＋有最小值 . （2）最大值 ①>0，>0； ②+是定值； ③当且仅当＝时，有最大值 . 运用均值定理求最值时，条件缺一不可，记忆时可记为一“正”、二“定”、三“相等”． 3. 重要不等式 （1） （2） ，其中，,且仅当＝时取等号． 考点一　均值定理 若，均为非零实数，则下列不等式恒成立的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】应同时考虑a，b同号和异号的情况 若x>0，则下列不等式成立的是(　　) A． B． C． D． 考点二 利用均值定理求最值 （1）若x>0，y>0，x＋y＝8，则xy的最大值是________； （2）若x>0，y>0，xy＝9，则x＋y的最小值是________. 【答案】（1）16 （2）6 【解析】两题都是用均值定理求最值．若x，y∈R＋，且x＋y＝k(常数)，则； 若x，y∈R＋，且xy＝k(常数)，则. （1），当且仅当x＝y＝4时，xy有最大值16. （2），当且仅当x＝y＝3时，x＋y有最小值6. （1）已知a>0，b>0，且a＋b＝6，则ab的最大值为________； （2）若a>0，b>1，且a(b－1)＝9，则a＋b的最小值为________. 已知0<x<6，求x(6－x)的最大值． 【答案】9 【解析】解：∵0<x<6，∴x>0，6－x>0， ∴x(6－x)≤＝9， 当且仅当x＝6－x，即x＝3时，x(6－x)的最大值为9. 当0<x<4时，求x(4－x)的最大值． 已知0<x<2，求x(4－2x)的最大值． 【答案】4 【解析】2x＋(4－2x)＝4为定值，且依题意有x>0，4－2x>0，故可用均值定理求最值． 解：∵0<x<2，∴x>0，4－2x>0， ∴，当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时，2x(4－2x)的最大值为4，∴，当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时，x(4－2x)的最大值为2. 已知0<x<，则x(5－2x)的最大值为________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2均值定理 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考试内容： １. 不等式的性质与证明 ２. 不等式的解法 ３. 不等式的应用 考试要求： 1．理解不等式的性质，明确不等式性质判断． 2．熟练掌握绝对值不等式、分式不等式和一元二次不等式的解法． 3．把不等式的解法和指数函数、对数函数性质结合． 4．把不等式的解法与函数的单调性和奇偶性结合． 5．把不等式的比较、证明与数列的相关性质结合． 1．均值定理 若，都是正数，则≥ (当且仅当＝时等号成立) 两个正数的算术平均值大于或者等于它们的几何平均值． 变形：（1） （2） 2. 利用均值定理求最值 （1）最小值 ①>0，>0； ②是定值； ③当且仅当＝时，＋有最小值. （2）最大值 ①>0，>0； ②+是定值； ③当且仅当＝时，有最大值. 运用均值定理求最值时，条件缺一不可，记忆时可记为一“正”、二“定”、三“相等”． 3. 重要不等式 （1） （2），其中，,且仅当＝时取等号． 考点一　均值定理 若，均为非零实数，则下列不等式恒成立的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】应同时考虑a，b同号和异号的情况 若x>0，则下列不等式成立的是(　　) A． B．