专题03 有理数的运算（讲+练，十一大知识点）-【划重点】2023-2024学年七年级数学上册同步讲与练（沪科版）

专题03 有理数的运算 ★知识点1：有理数的加法 （1）定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法． （2）法则： 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； 3）一个数同0相加，仍得这个数． 利用法则进行加法运算的步骤： ①判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则． ②确定和的符号(是“+”还是“－”)． ③求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)． （3）有理数加法的运算律 1）加法交换律：a+b=b+a 2）加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 典例分析 【例1】（2023秋·浙江·七年级专题练习）计算： (1)； (2) 【例2】（2023·浙江·七年级假期作业）计算 (1)； (2)． 【即学即练】 1．（2022秋·陕西咸阳·七年级统考期中）“抗击新冠疫情，人人有责”，学校作为人员密集场所，要求老师和学生进入校门后需佩戴好口罩．某中学小李同学统计了某一周七年级学生每天使用口罩的数量，每天以只为标准，其中每天超过只的部分记为“”，每天不足只的部分记为“”． 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 与标准的差值（单位：只） 求该校七年级同学这周星期一到星期五平均每天使用多少只口罩? 2．（2022秋·安徽芜湖·七年级校考期中）某采石场已存有石料吨，本周内开采和销售石料的记录如下表所示（开采量为正）： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 记录（吨） (1)本周内石料的开采量有______吨； (2)通过计算说明该采石场哪天存有的石料最多． ★知识点2：有理数的减法 （1）定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算． 1） 任意两个数都可以进行减法运算． 2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．（2）法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有： 典例分析 【例1】（2020秋·广东佛山·七年级佛山市南海区石门实验学校校考阶段练习）计算． (1)． (2)． 【例2】（2023·浙江·七年级假期作业）计算题： (1) (2) (3) (4) 即学即练 1．（2023春·六年级单元测试）某矿井下，，三处的海拔高度分别为米， 米，米． (1)求处比处高多少米？ (2)求处比处高出多少米？ 2．（2023·浙江·七年级假期作业）西峡猕猴桃，河南省西峡县特产，西峡因其独特的气候条件，所产猕猴桃内在品质优良，猕猴桃口感好，维生素含量高．小芸买了10箱西峡猕猴桃，每箱的标准重量是5千克，将超出标准重量的千克数记为正数，不足标准重量的千克数记为负数，记录结果如下： ，，，，，，，，0，． (1)最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)求这10箱西峡猕猴桃的总重量． ★知识点3：有理数的乘法 （1）有理数的乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； ②任何数同0相乘，都得0． ① 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘． ②当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3． （2） 有理数的乘法运算律： ①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba． ②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)． ③乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac． ①在交换因数的位置时，要连同符号一起交换． ②乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad． ③运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”． 典例分析 【例1】（2023秋·四川乐山·七年级统考期末）计算： 【例2】（2022秋·安徽黄山·七年级统考期末）计算：． 即学即练 1.（2023·浙江·七年级假期作业）计算： (1)； (2)． 2．（2023秋·浙江·七年级专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． ★知识点4:有理数的除法 有理数除法法则： 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒