1.1-菱形的性质与判定（第二课时） 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

1 第一章 特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定(二) 云阳县初二中 1 2 复习回顾 四边形 平行 四边形 两组对边 分别平行 一个角 是直角 ∟ 矩形 四边形集合 平行四边形集合 矩形集合 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 云阳县初二中 2 3 边 对角线 角 A B C D O 矩形的性质： 矩形对边平行且相等； 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线平分且相等； 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 4 平行四边形 矩形 边 角 对角线 对边平行 对边相等 对边平行 对边相等 对角相等 四个角都直角 互相平分 互相平分且相等 平行四边形与矩形性质的区别与联系 5 你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？ 矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 你还有其它的判定方法吗？ ABCD ∠A=900 四边形ABCD是矩形 6 如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状发生变化 （1）随着 的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？ （2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？ 命题：对角线相等的平行四边形是矩形 7 命题：对角线相等的平行四边形是矩形。 8 已知：在 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O,且AC=BD。求证：四边形ABCD是矩形。 A B C D 证明: ∵ AB=CD, BC=BC, AC=BD ∴ △ABC≌ △DCB（SSS） ∵ AB//CD ∴ ∠ABC+∠DCB=180° ∴ ∠ABC=∠DCB=90° ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=DC, AB//CD 在△ABC和△DCB中 ∴四边形ABCD是矩形 ∴ ∠ABC=∠DCB 9 对角线相等的平行四边形是矩形 。 矩形的判定方法： 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形 AC=BD ∴四边形ABCD是矩形 （对角线相等且互相平分的四边形是矩形。） A B C D O 10 有一个角是直角 有两个角是直角 的 四边形是矩形吗？ 有三个角是直角 探究 A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 11 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 。 你能证明上述结论吗？ 12 已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90° 求证：四边形ABCD是矩形。 A B C D ∟ ∟ ∟ 证明：∵ ∠A=∠B=90° ∴ ∠A+∠B=180° ∴AD∥BC 同理可证：AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形 又∵ ∠A=90° ∴四边形ABCD是矩形 13 矩形的判定方法： 有三个角是直角的四边形是矩形 。 A B C D ∵ ∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形 几何语言： 14 你能归纳矩形的几种判定方法吗？ 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 对角线相等的平行四边形是矩形 。 （对角线相等且互相平分的四边形是矩形。） 有三个角是直角的四边形是矩形 。 方法1： 方法2： 方法3： 15 情境一：工人师傅为了检验教室的门框是不是矩形，仅有一根较长的绳子，你有哪些方法？ 16 例2. 已知： ABCD的AC、BD对角线相交于O， AOB是等边三角形，AB=4cm, 求这个平行四边形的面积。 A B C O D 17 随堂练习1：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC， 求证：四边形ABCD是矩形。 A B C D M 要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或者对角线相等。 ∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AD=BC,AB=CD, ∠A+ ∠D=180° ∵M为AD的中点 ∴AM=AD ∵MB=MC ∴ △ABM ≌ △CDM (SSS) ∴ ∠A= ∠D=90° ∴四边形ABCD是矩形 18 1.四边形ABCD是平行四边形 2.当△ABC的∠BAC是直角时 19 2.四边形ABCD是矩形 提示：先证明OC=OB,0D=OB,于是OC=OD, 从而四边形ABCD是平行四边形 再证明∠CBD是直角 ∵O为AB中点∴OA=OB ∵BC平分∠ABM, ∴∠1= ∠2 ∵ CD∥MN∴∠2= ∠3∴∠1= ∠3 ∴OC=OB 同理，OB=OD ∴OC=OD ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵BC平分∠ABM， BD平分∠ABN ∴ ∠CBD=90 ° ∴ 四边形ABCD是矩形 20 提示：分别过A点和点C作BD的平行线， 分别过点B和点作AC的平行线 21 ∠A= ∠B= ∠C=90° A