12.3角的平分线的性质教学课件 2023-2024学年人教版八年级数学上册

第十二章 全等三角形 12.3 角的平分线的性质 在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？ 用量角器度量，也可用折纸的方法. 你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？ 一、提出问题，引发思考 如图，是一个角平分仪，其中 AB=AD，BC=DC. 将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是角平分线，你能说明它的道理吗? 证明： 在△ACD和△ACB中， AD=AB（已知）， DC=BC（已知） ， CA=CA（公共边）， ∴ △ACD≌ △ACB（SSS）. ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）. ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）. 一、提出问题，引发思考 从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？ A B O M N C 二、合作交流，探究新知 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？ 如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A 的平分线 OC，在 OC 上任取一点 P，过点 P 画出 OA，OB 的垂线，分别记垂足为 D，E，测量 PD，PE 并作比较，你得到什么结论？ 二、合作交流，探究新知 通过动手实验、观察比较，我们发现“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？ 已知：∠AOC = ∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE. 二、合作交流，探究新知 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO＝∠PEO＝ 90°. 在△PDO 和△PEO 中，∠PDO＝∠PEO， ∠AOC＝∠BOC，OP＝OP， ∴△PDO ≌ △PEO(AAS). ∴PD＝PE. 二、合作交流，探究新知 角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 几何语言: ∵OC 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE (角的平分线上的点到角的两边的距离相等). 二、合作交流，探究新知 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，点 D，E 为垂足，PD＝PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 二、合作交流，探究新知 证明: ∵ PD⊥OA，PE⊥OB(已知)， 　 ∴ ∠PDO＝∠PEO＝ 90°(垂直的定义) . 在Rt△PDO 和Rt△PEO 中 　 PO＝PO(公共边)， PD=PE， ∴ Rt△PDO ≌ Rt△PEO(HL) . 　 ∴ ∠ POD＝∠POE. ∴点P在∠AOB 的平分线上. 二、合作交流，探究新知 结论: 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言: ∵P 是∠AOB 内的一点，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，且 PD=PE， ∴OP 是∠AOB 的平分线 (角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上). 二、合作交流，探究新知 由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？ （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 二、合作交流，探究新知 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. 证明：过点 P 作 PD⊥AB 于 D，PE⊥BC 于 E，PF⊥AC于 F. ∵BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， ∴PD=PE (角的平分线上的点到角的两边的距离相等). 同理，PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. A B C P M N D E F 三、应用新知 要在 S 区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处 500 米，应建在何处？（比例尺 1∶20 000） D C S 作夹角的角平分线 OC，截取 OD=2.5 cm，D 即为所求. 三、应用新知 1. 直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ( ) A. 一处