22.1二次函数的图象与性质【素养基础达标】2023-2024学年人教版数学九年级上册

22.1二次函数的图象与性质【素养基础达标】 2023-2024学年人教版数学九年级上册 基础知识梳理 1.二次函数的定义：一般地，形如(a)的函数。叫做二次函数.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 2.二次函数的图像和性质 a>0 a<0 图像 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） 顶点坐标 （0，0） （0，0） 最值 当x=0时，=0 当x=0时，=0 增减性 在对称轴的左侧，即x<0时，y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧，即x>0时，y随x的增大而增大 在对称轴的左侧，即x<0时，y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧，即x>0时，y随x的增大而减小 3.二次函数的图像和性质 (a>0) (a<0) k>0 k<0 k>0 k<0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） 顶点坐标 （0，k） （0，k） 最值 当x=0时，=k 当x=0时，=k 增减性 在对称轴的左侧，即x<0时，y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧，即x>0时，y随x的增大而增大 在对称轴的左侧，即x<0时，y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧，即x>0时，y随x的增大而减小 二次函数(a≠0)与(a≠0)的图象的关系 二次函数(a≠0)的图象可以由的图象平移得到：. 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减 4.二次函数的图像和性质 (a>0) (a<0) h>0 h<0 h>0 h<0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 （h，0） （h，0） 最值 当x=h时，=0 当x=h时，=0 增减性 在对称轴的左侧，即x<h时，y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧，即x>h时，y随x的增大而增大 在对称轴的左侧，即x<h时，y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧，即x>h时，y随x的增大而减小 二次函数与(a≠0)的图象的关系可以看作互相平移得到(h>0)： 左右平移规律：自变量左加右减，括号外不变。 5.二次函数的图像和性质（顶点式） h>0，k>0 h<0，k>0 h>0，k>0 h<0，k>0 图像 h<0，k<0 h>0，k<0 h<0，k<0 h>0，k<0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 （h，k） （h，k） 最值 当x=h时，=k 当x=h时，=k 增减性 在对称轴的左侧，即x<h时，y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧，即x>h时，y随x的增大而增大 在对称轴的左侧，即x<h时，y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧，即x>h时，y随x的增大而减小 二次函数的图像可以由的图象平移得到： （方法一：先左右平移，再上下平移） （方法二：先上下平移，再左右平移） 简记为： 上下平移，常数项上加下减； 左右平移，自变量左加右减. 二次项系数a不变. 6.二次函数+bx+c的图像和性质 函数 +bx+c(a，b，c是常数，a） a>0 a<0 图像 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x= 直线x= 顶点坐标 （，） 最值 当x=时，= 当x=时，= 增减性 在对称轴的左侧，即x<时，y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧，即x>时，y随x的增大而增大 在对称轴的左侧，即x<时，y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧，即x>时，y随x的增大而减小 二次函数+bx+c的配方成顶点式的过程 +bx+c =a（+x）+c..............“提”：提出二次项系数 =a[+x+-]+c..............“配”：括号内配成完全平方 =a[-]+c =a-+c =a..............“化”：化成顶点式 可知：h=，k= 7.用待定系数法求二次函数的解析式 已知条件 方法 已知三点坐标 用一般式： 已知顶点坐标或对称轴或最值 用顶点式： 已知抛物线与x轴的两个交点 用交点式：y=a(x-)(x-) (，0)，(，0)为抛物线与x轴的交点坐标) 对称轴=，A(，)，A(，) 两个点的纵坐标相同 步骤 ①设：根据题中已知条件，设函数解析式为或或y=a(x-)(x-) ②代：代入已知的三点的坐标后得到一个方程组； ③解：解方程组得到a，b，c等系数的值 ④还原：把求出的系数a，b，c还原到