5.1.1 变化率问题课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

学习目标 1.体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解平均速度、瞬时速度的区别和联系. 2.掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题. 3.掌握割线与切线的定义，会求其斜率. 5.1.1 变化率问题 探索新知 一、平均速度 思考 二、瞬时速度 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 1.瞬时速度的概念： 三、割线与切线的斜率 问题2 抛物线的切线的斜率 （1）割线的斜率 （2）切线的斜率 课堂小练 课堂小结： 你学到了那些新知识呢？ 本节课学习了平均速度、瞬时速度的概念及求法以及曲线割线与切线斜率的求法. 问题1 高台跳水运动员的速度 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于 水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在 函数关系.如何描述运动员从起跳到入水 的过程中运动的快慢程度呢？ 如在这段时间里，； 在这段时间里，. 一般地，在这段时间里， . 计算运动员在这段时间里的平均速度，发现了什么？ 用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 运动员在这段时间里的平均速度为0. 显然，在这段时间内， 运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这 一时间段里的运动状态. 2.求运动员在时刻的瞬时速度 设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是， 可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么 将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度. 为了求运动员在时的瞬时速度，在之后或之前，任意取一个 时刻，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 当时，在1之后；当时，在1之前. 当 时，把运动员在时间段内近似看成做匀速直线运动，计算时间 段内的平均速度，用平均速度近似表示运动员在时的 瞬时速度. 当时，在时间段内可作类似处理. 给出更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度的值. 当无限趋近于0时， 即无论从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限 趋近于. 由发现，当无限趋近于0时，也无限趋近于0， 所以无限趋近于，这与前面得到的结论一致. 数学中，我们把叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为 . 从物理的角度看，当时间间隔无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于时 的瞬时速度. 因此，运动员在s时的瞬时速度. 为了研究抛物线在点处的切线，通常在点的附近 任取一点，考察抛物线的割线的变化情况. 当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确 定位置的直线称为抛物线在点处的切线. 抛物线在点处的切线的斜率与割线的斜率 有内在联系. 记，则点的坐标是. 于是，割线的斜率. 我们可以用割线的斜率近似地表示切线的斜率，并且可以 通过不断缩短横坐标间隔来提高近似表示的精确度，得到如下表格. …… …… 当无限趋近于0时，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边 无限趋近于1时，割线的斜率k都无限趋近于2. 事实上，由可以直接看出，当无限趋近于0时， 无限趋近于2. 把2叫做“当无限趋近于0时，的 极限”，记为. 从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点P无限趋近于点，于是 割线无限趋近于点处的切线.这时，割线的斜率k无限趋近于点 处的切线的斜率. 因此，切线的斜率. 1.某物体沿水平方向运动，其前进距离s（米）与时间t（秒）的关系为， 则该物体在运动前2秒的平均速度（单位：米/秒）为( ) A.18 B.13 C.9 D. 答案：C 解析：，该物体在运动前2秒的平均速度为（米/秒）. 故选C. 2.一物体做直线运动，其位移s(单位：m)与时间(单位：s)的关系是， 则该物体在时的瞬时速度是( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：， 该物体在时的瞬时速度为，故选A. 3.一根金属棒的质量y（单位：kg）关于长度x（单位：m）的函数关系式为， 则从4 m到9 m这一段金属棒的平均线密度是( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：从4 m到9 m这一段金属棒的平均线密度是. 故选B. 4.若质点A按照规律运动，则在时的瞬时速度为( ) A.6 B.18 C.54 D.81 答案：B 解析：由题可得.故选B. 5.若小球自由落体的运动方程为(g为常数)，该小球从到的 平均速度为，在处的瞬时速度为，则和的关系为( ) A. B. C. D.不能确定 答案：C 解析：平均速度，， 所以该物体在处的瞬时速度，则，故选C. 6.过曲线上两点，的割线的斜率为______. 答案：1 解析：由过曲线上两点，的割线的斜率k即为两点连线的直线的 斜率，则.故答案为1. 7.已知函数的图像在其上点处的切线斜率为2， 则_____