5.2.1基本初等函数的导数课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2导数的运算 5.2.1基本初等函数的导数 学习目标： 1.掌握基本初等函数的导数公式： 2.学会利用公式求一些函数的导数 教学重点： 基本初等函数的导数公式 教学难点： 基本初等函数的导数公式的推导过程及其应用. 复习 导数的定义： 义有极限， 如果当Ar→0时，平均变化率A无限趋近于一个确定的值，即人 则称y=f(x)在x=处可导，并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x处的导数 (也称为瞬时变化率). 义无限 根据导数的定义，求函数y=f)的导数，就是求出当△r→0时， 趋近的那个定值.下面我们求几个常用函数的导数 1.函数y=f(x)=c的导数 _f(x+Ax)-f(x)_c-c-0, 因为x △x △x 所以y'=lim mAy =limo=0. Ar→0△XAr→0 若y=C表示路程关于时间的函数，则y=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0， 即一直处于静止状态」 y=C 0 2.函数y=f(x)=x的导数 因为 y=fx+A)-f四=+A0-x=1, △x △x △x 所以y'=lim Ay liml=1. Ax→0△X △r→0 若y=x表示路程关于时间的函数，则y=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速 直线运动. y=x 3.函数y=f(x)=x2的导数 y=fx+A)-f因_x+AP-2-+2x·Ar+a-t=2x+Ax, 因为 △x △x △x 所以y=mA=m2x+Ay)=2x. △r→0Ax△r0 y=2x表示函数y=x2的图象上点(x,)处切线的斜率为2x,说明随着x的变化， 切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，y'=2x表 明：当x<0时，随着x的增加，y越来越小，y=x2减少得越来越慢：当x>0时， 随着x的增加，|y'越来越大，y=x增加得越来越快若y=x表示路程关于时间的函 数，则y'=2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x y=x2 4.函数y=f(x)=x3的导数 y=fx+A)-fy_c+A)'-x_x+3x2.△x+3x·(△x)}+(△)3-x 因为x △x △x △x =3x2+3x·△+（△x)2, 所以y'=lim Ay=lim[3x2+3x.Ax+(Ax)]=3x2 Ax+0△xAx→0 y'=3x表示函数y=x的图象上点(x,y)处切线的斜率为3x2,这说明随着x的 变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数」 y=x3 5.函数y=f(x)=的导数 1-1 x-(x+△x) 因为Ay_f(x+A)-f因-x+Ar正-xx+AA =- 1 x2+x·△r △x Ar Ar 所以y=imA=im Ax→0ΛX 6.函数y=f(x)=Vx的导数 因为 y-fr+A)-f)_Vx+Ax-VF-x+△x-E)(r+△x+V) △x △x △x △x(Nx+△r+Vx) x+Ar+ 所以y'=im号 基本初等函数的导数公式 L.若f(x)=c(c为常数，则f"(x)=0: 2.若f(x)=x“(a∈Q,且a≠0)，则f'(x)=ax-: 3.若f(x)=sinx,则f"(x)=cosx: 4.若f(o)=cosx,则f'(x)=-sinx: 5.若f(x)=a(a>0,且a≠l),则f"(x)=alna; 特别地，若f(x)=e，则f'(x)=e; 6.若f)=1og。a>0,且a≠0，则f)=1 xIna 特男别绝，若)，则/国-子