专题01 勾股定理与逆定理（知识串讲+8大考点）-【一遍过】2023-2024学年八年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

专题01 勾股定理与逆定理 考点类型 知识一遍过 （一）勾股定理 （1）勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； （2）表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么 （3）变式： ①a²=c²- b² ②b²=c²- a² 适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。 （二）勾股定理的几何证明 （1）方法一：，，化简可证． （2）方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　 大正方形面积为 所以 （3）方法三：，，化简得证 （三）勾股数 （1）勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 （2）常见的勾股数：如；；；等 （3）扩展：用含字母的代数式表示组勾股数： ①（为正整数）； ②（为正整数） ③（，为正整数） 注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。 （四）勾股定理逆定理 内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 注意： （1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，若=则以，，为三边的三角形是直角三角形； （2）定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 考点一遍过 考点1：勾股定理——求线段 典例1：（2023春·山西运城·八年级统考期末）如图，在中，，平分交于点，，，则点到边的距离为（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 【变式1】（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，是边上的高，若，则（　　）    A．2 B．2.4 C．3 D． 【变式2】（2023春·黑龙江大庆·七年级统考阶段练习）在中，若，边上的高，那么的周长为（　　） A．32或33 B．42或33 C．32或42 D．33或31 【变式3】（2023春·安徽滁州·八年级校联考阶段练习）在中，，，，则边的长为（    ） A．1 B． C． D．2 考点2：勾股定理——网格问题 典例2：（2023春·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图，的顶点、、在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为（    ）      A． B． C． D． 【变式1】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在边长为1的小正方形网格中，P为上任一点，的值为（　　）    A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2023春·河北沧州·八年级统考期末）如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点A，B，C，D，则下列线段长度为的是（    ）    A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 考点3：勾股定理——折叠问题 典例3：（2023春·天津和平·八年级天津市第五十五中学校考期末）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023春·全国·八年级期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，将斜边翻折使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2023春·江苏·八年级统考期末）如图，矩形纸片的边长为4，将这张纸片沿折叠，使点C与点A重合，已知折痕长为，则长为（    ） A．4.8 B．6.4 C．8 D．10 【变式3】（2023春·安徽芜湖·八年级统考期末）如图所示，在中，，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则的周长是（    ）    A．7 B．7.5 C．8 D． 考点4：勾股定理——勾股树问题 典例4：（2023春·八年级单元测试）如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，就变成了如图所示的形状，若继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．2024 B．2023 C．2022 D．1 【变式1】（2022秋·八年级单元测试）如图，在四边形ABCD中，，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，则的值是（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【变式2】（2022秋·八年级课时练习）