第05讲 函数应用（一）（知识解读+题型精讲+随堂检测）-2023-2024学年高一数学《知识解读·题型专练》（人教A版2019必修第一册）

第05讲 函数应用（一） 知识点1 一次函数模型的应用 一次函数的一般形式：，其定义域是R，值域是R． 知识点2二次函数模型的应用 1．二次函数的一般形式是其定义域为R． 2．若，则二次函数在时有最小值； 若，则二次函数在时有最大值． 3．建立二次函数模型解应用题的步骤和建立一次函数模型解应用题的步骤一样：读题，解题，建模，解答． 知识点3 函数模型的综合应用 函数的应用题是利用函数模型解决实际问题． 在数学建模的过程中有若干个有着明显区别的处理阶段： 第一阶段，对于面临的实际问题，我们首先需要认真审题，熟悉实际问题的背景知识，明确研究的对象和研究的目的． 第二阶段，辩识并列出与问题有关的因素，明确模型中需要考虑的因素以及它们在问题中的作用，以变量和参数的形式表示这些因素． 第三阶段，运用数学知识和数学上的技能技巧来描述问题中变量之间的关系，通常它可以用数学表达式来描述． 第四阶段，利用数学知识将得到的数学模型予以解答，求出结果． 第五阶段，解释数学模型的结果． 根据实际问题建立函数解析式，然后利用求函数最值的方法解决最大、最省等问题．求函数最值的常用方法有：①配方法；②判别式法；③换元法；④数形结合法；⑤函数的单调性法等． 【题型1 一次函数应用】 【典例1】（杭州新东方高中数学试卷388）某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_________． 【变式1-1】一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）（默认y>x） A．y＝10－x(0<x<5) B．y＝10－2x(0<x<10) C．y＝20－x(0<x<5) D．y＝20－2x(0<x<10) 【变式1-2】已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( ) A． B． C． D． 【变式1-3】（多选题）（2022·全国·高一课时练习）（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是（    ） A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B．甲从家到公园的时间是30 min C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x 【题型2 二次函数应用】 【典例2】某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和与之间的关系）.根据图象提供的信息解答下列问题： （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润（万元）与时间（月）之间的函数关系式； （2）求截止到第几个月末公司累积利润可达到万元； （3）求第八个月公司所获得的利润. 【变式2-1】某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售辆该品牌车的利润（单位：万元）分别为和.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（ ） A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元 【变式2-2】个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（辆）与创造的价值（元）之间满足二次函数关系．已知产量为时，创造的价值也为0；当产量为55辆时，创造的价值达到最大6050元．若这家工厂希望利用这条流水线创收达到6000元及以上，则它应该生产的摩托车数量至少是 _____________ ； 【题型3 分段次函数应用】 【典例3】某科技公司生产一种产品的固定成本是20000元，每生产一台产品需要增加投入100元．已知年总收益R（元）与年产量x（台）的关系式是R（x）＝ （1）把该科技公司的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数； （2）当年产量为多少台时，该科技公司所获得的年利润最大？最大年利润为多少元？（注：利润＝总收益﹣总成本） 【变式3-1】刘先生购买了一部手机，欲使用中国移动的“智慧”卡或加入中国联通网，经调查收费标准如表： 网络 月租 本地话费 长途话费 甲：联通 12元 0.3元/分钟 0.6元/分钟 乙：移动 无 0.5元/分钟 0.8元/分钟 刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍（手机双向收费，接打话费相同）． （1）设刘先生每月通话时间为x分钟，求使用甲种入网方式所需话费的函数f（x）及使用乙种入网方式所需话费的函数g（x）； （2）请你根据刘先生每月通话时间为刘先生选择较为省钱的入网方式． 【变式