16.3 二次根式的运算（讲+练，八大题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（沪教版）

16.3 二次根式的运算 1.会进行二次根式的加减运算 2.掌握二次根式乘除法运算的法则，会进行二次根式的乘除运算 3.理解分母有理化的意义,会寻找合适的有理化因式将分母有理化 4.掌握二次根式的运算顺序,会进行二次根式的加、减、乘、除混合运算 5.通过解简单的实际问题以及解一元一次方程和一元一次不等式体会二次根式的运用.在学习过程中体会类比、化归的数学思想 知识点一 二次根式的加减运算 1. 二次根式加减运算的步骤 (1) 一化：将各个二次根式化成最简二次根式 (2) 二判：找出同类二次根式 (3) 三合并：合并同类二次根式根号外的因式相加减,根指数与根号内的被开方数不变 （1）二次根式加减运算的实质就是合并同类二次根式 （2）在二次根式的加减运算中，化成最简二次根式后，不是同类二次根式的不能合并，直接保留在结果中. （3）整式加减运算中的运算律、去括号法则、添括号法则在二次根式的加减运算中仍然适用. 即学即练 （2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）计算：． 1. 二次根式的加减运算可类比整式加减中的合并同类项,根号外的因式进行加减运算要加括号. 2. 原式中如果有括号,要先去括号，再用加法的交换律、结合律将同类二次根式合并. 2.二次根式的乘法法则 两个二次根式相乘被开方数相乘,根指数不变.符号表示为 （1）中已隐舍了的条件,因为只有当都是非负数时,才有意义； （2）二次根式相乘的结果必须化成最简二次根式； （3）推广公式： 即学即练 （2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）计算: (1); (2) 知识点三 二次根式的除法法则 两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.符号表示为 （1）中已隐舍了的条件,如果都是负数时，虽然有意义，但是在实数范围内无意义，如果=0，则无意义； （2）推广公式1： （3）推广公式2： 即学即练1 即学即练2（2023春·北京朝阳·八年级校考期中）计算：． 二次根式相除,根号前的系数除以系数的商作为商的系数，被开方数除以被开方数的商作为商的被开方数. 知识点四 分母有理化 1. 分母有理化的概念 把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 2. 分母有理化的方法 一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号. 3.有理化因式 （1）分母有理化时，分子、分母所乘的代数式叫做分母的有理化因式，分母有理化的关键是确定分母的有理化因式; （2）两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式. 常见的互为有理化因式的形式有: 与互为有理化因式，与 互为有理化因式,与互为有理化因式。 即学即练 （2022秋·上海静安·八年级校考期中）计算： 知识点五 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除的混合运算，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点: （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算的顺序类似，先乘除，再加减，有括号的先算括号里面的; （2）在二次根式的运算中，实数的运算性质和法则仍然适用，如:加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律、去括号法则等都适用; （3）若结果是二次根式，则必须化为最简二次根式. 即学即练 （2022秋·上海青浦·八年级校考期中）计算： 题型一 解含二次根式的方程 例1 （2022秋·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）解方程：． 举一反三1 解方程：． 举一反三2 （2022春·山东烟台·八年级统考期中）小明在解方程时采用了下面的方法：由 ，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解、请你学习小明的方法，解方程：． 举一反三3 （2022秋·江苏常州·八年级校考期中）小明在解方程时采用了下面的方法： 由，又有可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解下面的方程： (1)解方程； (2)解方程． 题型二 解含二次根式的不等式（组） 例2 （2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）不等式的解集是 . 举一反三1 （2022秋·上海普陀·八年级校考期中）不等式的解集是 ． 举一反三2 （2022秋·上海虹口·八年级校考期中）不等式的解集是 ． 题型三 利用乘法公式巧解二次根式混合运算 例3 （2023春·河北沧州·八年级校考阶段练习）已知，，求的值． 举一反三1 （2023春·安徽六安·八年级校考期中）计算： (1)； (2)． 举一反三2 （2022秋·山东烟台·八年级校考开学考试）计算： (1) (2) (3) 题型四 二次根式之分母有理化 例4