第1章 二次函数（知识清单+典型例题）-【满分全攻略】2023-2024学年九年级数学同步讲义全优学案（浙教版）

第1章 二次函数（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 考点1:二次函数的定义 一般地，如果（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数． 要点诠释： 二次函数(a≠0)的结构特征是：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．(2)二次项系数a≠0． 【例1】（2022秋•东阳市期中）下列函数是二次函数的是（　　） A．y＝x2 B．y＝x+1 C．y＝ D．y＝2x 【解答】解：A、y＝x2是二次函数，故此选项符合题意； B、y＝x+1是一次函数，故此选项不符合题意； C、y＝是反比例函数，故此选项不符合题意； D、y＝2x是正比例函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式】（2022秋•金华期末）若y＝（m﹣2）x是二次函数，则m的值为（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．± 【解答】解：∵y＝（m﹣2）x是关于x的二次函数， ∴m2﹣2＝2，且m﹣2≠0， ∴m＝﹣2． 故选：C． 考点2:二次函数的图象及性质 1.二次函数(a≠0)的图象是一条抛物线，顶点为． 2.当a＞0时，抛物线的开口向上；当a＜0时，抛物线的开口向下． 3.①|a|的大小决定抛物线的开口大小．|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大． ②c的大小决定抛物线与y轴的交点位置．c＝0时，抛物线过原点；c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴；c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴． ③ab的符号决定抛物线的对称轴的位置．当ab＝0时，对称轴为y轴；当ab＞0时，对称轴在y轴左侧；当ab＜0时，对称轴在y轴的右侧． 4.抛物线的图象，可以由的图象移动而得到． 将向上移动k个单位得：． 将向左移动h个单位得：． 将先向上移动k(k＞0)个单位，再向右移动h(h＞0)个单位，即得函数的图象． 5. 几种特殊的二次函数的图象特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 (轴) (0，0) (轴) (0，) (，0) (，) () 要点诠释： 求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 【例2】（2023•瓯海区四模）已知两点A（﹣2，y1），B（4，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y0≤y1＜y2，则x0的取值范围是（　　） A．x0≤﹣2 B．x0＜1 C．﹣2＜x0＜1 D．﹣2＜x0＜4 【解答】解：∵点A（﹣2，y1），B（4，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点， ∴若y2＞y1≥y0，则此函数开口向上，有最小值， ∴＝1＜x0≤3或x0≥3， 解得：x0＜1， 故选：B． 【变式1】（2023•台州）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＜0，则直线y＝ax+k一定经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点， ∴kx＝ax2﹣a， ∴ax2﹣kx﹣a＝0， ∴， ∴， 当a＞0，k＜0时，直线y＝ax+k经过第一、三、四象限， 当a＜0，k＞0时，直线y＝ax+k经过第一、二、四象限， 综上，直线y＝ax+k一定经过一、四象限． 故选：D． 【变式2】（2023•绍兴模拟）二次函数 的图象经过平移后得到新的抛物线，此抛物线恰好经过点（﹣2，﹣2），下列平移方式中可行的是（　　） A．先向左平移8个单位，再向下平移4个单位 B．先向左平移6个单位，再向下平移7个单位 C．先向左平移4个单位，再向下平移6个单位 D．先向左平移7个单位，再向下平移5个单位 【解答】解：＝﹣（x﹣4）2+5， A、先向左平移8个单位，再向下平移4个单位得到y＝﹣（x﹣4+8）2+5﹣4，即y＝﹣（x+4）2+1， 当x＝﹣2时，y＝﹣1，故此时抛物线不经过点（﹣2，﹣2），不合题意； B、先向左平移6个单位，再向下平移7个单位得到y＝﹣（x﹣4+6）2+5﹣7，即y＝﹣（x+2）2﹣2， 当x＝﹣2时，y＝﹣2，故此时抛物线经过点（﹣2，﹣2），符合题意； C、先向左平移4个单位，再向下平移6个单位得到y＝﹣（x﹣4+4）2+5﹣6，即y＝﹣x2﹣1， 当x＝﹣2时，y＝﹣3，故此时抛物线不经过点（﹣2，﹣2），不合题意； D、先向左平移7个单位，再向下平移5个单位得到y＝﹣（x﹣