第11章三角形常见模型专题练习2023-2024学年人教版八年级数学上册

三角形常见模型 ◆双角平分线 【例题讲解】 例1．已知在△ABC中，图1，图2，图3中的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O． （1）如图1，点O是△ABC的两个内角平分线的交点，猜想∠O与∠A之间的数量关系，并加以证明． （2）请直接写出结果．如图2，若∠A＝60°，△ABC的内角平分线与外角平分线交于点O，则∠O＝　 　；如图3，若∠A＝60°，△ABC的两个外角平分线交于点O，则∠O＝　 　． 3 【巩固练习】 练1．如图所示，在△ABC中，∠B＝47°，在三角形的外角∠DAC与∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝　 　． 练2．已知△ABC中，∠A＝70°，BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的外角角平分线，交点为D，则∠D＝　 　． 练3．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A5BC的平分线与∠A5CD的平分线交于点A6，得∠A6，则∠A6＝　 　． 练4．如图，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，点E，D分别是OB，OC延长线上的点，∠CBE和∠BCD的平分线交于点P，∠A＝α，则∠P的度数为 　 　．（用含α的代数式表示） ◆折叠问题 【例题讲解】 例2．如图1，一张三角形ABC纸片，点D，E分别是△ABC边上两点． 研究（1）：如果沿直线DE折叠，使点A落在CE上的点A'处，则∠BDA'与∠A的数量关系是 　 　； 研究（1）：如果折成图2的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是 　 　； 研究（3）：如果折成图3的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是什么，并说明理由． 【巩固练习】 练5．如图，将四边形纸片ABCD的右下角向内折出△EC'F，恰好使C'E∥AB，C'F∥AD，若∠B+∠D＝220°，则∠A＝　 　． 练6．如图将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，测量得∠1＝60°，∠2＝152°，则∠A为 　 　． 练7．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠C＝50°，则∠CDO+∠CFO的度数为 　 　． ◆箭头图 【例题讲解】 例3．【课本再现】 已知：如图1，P是三角形ABC内一点，连接PB，PC． 求证：∠BPC＞∠A． 证明：如图2，延长BP，交AC于点 D． ∵∠BPC是△PCD的一个外角（外角的定义）， ∴∠BPC＞∠PDC（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）． ∵∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义）， ∴∠PDC＞∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）． ∴∠BPC＞∠A． 【知识迁移】 如图3，求证： （1）∠FHG＞∠E； （2）∠FHG＝∠E+∠F+∠G． 【拓展延伸】 如图4，五角星五个“角”的和为 　 　°． 【巩固练习】 练8．如图，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，已知∠DAE＝50°，∠DBE＝110°，则∠DCE＝　 　． 练9．如图，BE平分∠ABD，∠A＝60°，∠D＝130°，∠C＝30°，则∠BEC＝　 　． 练10．如图1所示，△ABO与△CDO称为对角“三角形”，其中∠A+∠B＝∠C+∠D，利用这个结论，在图2中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　 　． ◆“8”字型 【例题讲解】 例4．阅读材料： 如图1所示，线段AB与CD相交于点O，称△AOC与△DOB为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠C＝∠B+∠D． （1）如图2所示，线段AB与CD相交于点O，∠CAO与∠BDO的平分线AP和DP相交于点P，AP交CD于点M，DP交AB于点N，已知∠B＝96°，∠C＝98°，则∠P的度数是 　 　． （2）如图3所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　． 【巩固练习】 练11．如图，AE是∠BAD的平分线，CE是∠BCD的平分线，且AE与CE相交于点E．若∠D＝40°，∠B＝30°，则∠E的度数为 　 　． 练12．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　． 练13．如图，若∠EOC＝115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+