14.2 勾股定理的应用-【勤径学升】2023-2024学年八年级上册数学同步练测重点知识锦囊（华东师大版）

八年级数学·华师版（上册）》 14.2 勾股定理的应用 新知荟，脉络梳理W 理变点 知瞑盒①利用勾股定理及其逆定理解决实际问题围说数学 )图说数学 利用勾股定理解决实际问题的关键在于将实际问题转 从A点环绕建筑物建韩子，正好 化为数学问题，画出几何图形，结合方程或直角三角形的性 到A点的正上方B点，若要梯子最短， 质解决 最省材料，则需要将建筑物的侧面晨 常见的利用勾股定理解决实际问题的几种类型 开，得到一个平面图形，沿AB'建韩子 (1)立体图形中的最短路径问题：利用“两点之间，四 最短”将立体图形侧面展开，再构造直角三角形求解： (2)最短路程问题：利用轴对称作对称点，构造直角三角形 求解； (3)航行问题：理解方向角、灯塔等概念，根据题意作出图 形，利用勾股定理及逆定理解题 细织点②利用勾股定理及其逆定理解决数学问题妇钠感速 )归纳总结 (1)如果从题意中无法判断所求的边 问题 解决思路 是直角边还是科边，那么就要分情况 作出正确图形，利用勾股定理求两点间 两点间的距离问题 讨论； 的回 (2)墙壁、大树、电线杆一般是与地面 判断两线段是否垂 以已知线段为边构造直角三角形，利用 垂直的，如果没有直角三角形，就要作 直 勾股定理的逆定理解决问题 辅助线构造直角三角形，利用勾殷定 理解决问避 答案 ①线段回距离 题型社实例探索川 理要点 愿國（①勾股定理与无理数 )解题技巧 典队1 典例①如图，正方形网格中的每个小方格的边长都是1，每个 方格的顶点叫做格点，请你以格点为顶点，画一个三边长 分别为4,5，、13的三角形，并求出此三角形的面积 .JA.JE: 如图，在Rt△BCD中，BC= BD+DC2=5: 【解】如图，△ABC即所要求的三角形（△ABC的位置不唯 在Rt△AEC中，AC=√AE+EC= -),其中AB=4,BG=5,AC=B,△ABC的面积为} 13. ×4×2=4. 40 见比图标国弱林亭/磁信扫码领取配套窗源稳步提升成绩 第14章 勾股定理 题國②利用勾股定理解决最短路径问题 )规律方法 ◆典例2 1.利用对称法求平面上的最短距离 “变折为直”解决平面图形的 典例2如图，MN表示一条铁路，A、B分别是两个城市，它们 最短路径问题 利用“两点之间，线段最短”进行 到铁路所在直线MN的距离分别为A4,=20km,BB,= 转化是求线段最短问通常用的方法， 40km,且A,B,=80km.现要在A1、B,之间设一个中转站 而求出西点之间的最短距离经常用勾 P,使两个城市到中转站的距离之和最短，请你设计一个方 般定理，像此题的线段和最小问题，解 案确定点P的位置，并求出这个最短距离。 答的关健是利用轴对称确定最值，需 要正确画图我到对称点的位置，将两 条线段和转化为两点之间的距离，然 A 后利用勾股定理求出最小值 【解】如图，作点A关于直线MN的对称点A',连结A'B交 MN于一点，则此点就是要确定的中转站的位置，即点P, 连结AP,最短距离即为AP+BP的长. 过点A'作A'B'⊥BB,交BB,的延长线于点B' 在Rt△A'BB'中，A'B'=A,B,=80km, BB'=BB1+B1B'=BB1+A,A'=BB1+AA1=40+20=60(km), .A'B2=A'B2+BB2=802+602=1002 ∴，A'B=100km. 由对称性知AP+BP=A'P+BP=A'B=1O0km. ∴，这个最短距离为100km. 2.利用化曲为直法求立体图形中的最短距离 )规律方法 公典例3 典例3如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的顶点A处，一只 “化曲为平”解决立体图形表面的 苍蝇在这块长方体木块的顶点G处.若AB=3cm,BC= 最短路径问题 5cm,BF=6cm,蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓 立体田形 到苍蝇？这时蜘蛛走过的路程是多少？ 痕开上转化” 平面图形 狗造转化 直角三角惑 最短路径为其科边长 已指定 未指定路我： 路线： 充分美付论】 【解】分以下三种方案讨论： 直接求 再北较，取 方案一：如图①，当蜘蛛从点A出发经过EF到点G时， 科边长 最短的料边 因为BC=5cm,所以FG=BC=5cm. 又因为BF=6cm,所以BG=5+6=11(cm). 在Rt△ABG中，AG=√AB+BG=√32+11=130(cm). 见此图标甄抖膏/微俗招码领取配套资源稳步提升成绩 ①八年级数学·华师版（上册） 网① 图② 图3 方案二：如图②，当蜘蛛从点A出发经过BF到点G时. 因为AB=3cm,BC=5cm, 所以AC=AB+BC=3+5=8(cm). 因为BF=6cm,所以CG=BF=6cm. 在Rt△ACG中，AG=√AC2+CG=√82+62=10(cm). 方案三：如图③，当蜘蛛从点A出发经过BC到点