24.4 解直角三角形（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年九年级上册初三数学同步备课（华东师大版）

第24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 第1课时 解直角三角形及其简单应用 优翼数学教学课件（HS）九上 A C B c b a (1) 三边之间的关系: a2 + b2 =_____； (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____； (3)边角之间的关系：sin A =_____，cos A =_____，tan A =_____. 在 Rt△ABC 中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C = 90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？ c2 90° 观察与思考 导入新课 比萨铁塔倾斜问题，设塔顶中心点为 B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过 B 点向垂直中心线引垂线，垂足为点 C（如图），在 Rt△ABC 中， ∠C＝90°，BC＝5.2 m，AB＝54.5 m. ∴∠A ≈ 5°28′ 可以求出 2001 年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角．你愿意试着计算一下吗？ A B C A B C 已知两边解直角三角形及解直角三角形的应用 新课讲授 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 α 一般要满足 50°≤α≤75°.现有一个长 6 m 的梯子，问： （1）当梯子底端距离墙面 2.4 m 时，梯子与地面所成的角 α 等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？ （2）使用这个梯子最高可以 安全攀上多高的墙（精确到 0.1m）？ 对于问题（1），当梯子底端距离墙面 2.4 m 时，求梯子与地面所成的角 α 的问题，可以归结为：在Rt△ABC 中，已知 AC＝2.4，斜边 AB＝6，求锐角 α 的度数 由于 利用计算器求得 α ≈ 66° 因此当梯子底墙距离墙面 2.4 m 时，梯子与地面所成的角大约是 66°. 由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是安全的． C A B 由 得 . 问题（2）可以归结为：在 Rt△ABC 中，已知∠A＝75°，斜边 AB＝6，求∠A 的对边 BC 的长． 问题（2）当梯子与地面所成的角 α 为 75° 时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度． 因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是 5.8 m. 所以 BC ≈ 6×0.97 ≈ 5.8 . 由计算器求得 sin75° ≈ 0.97 . A C B 在图中的 Rt△ABC 中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 75° ） 解： 已知一边和一锐角解直角三角形 在如图的 Rt△ABC 中，根据 AC＝2.4，斜边 AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 2.4 解： 事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素． A B a b c C 在直角三角形中，由已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 归纳总结 1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， ，解这个直角三角形. 解： A B C 当堂练习 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6， ∠BAC的平分线 ，解这个直角三角形. D A B C 6 解： ∵AD 平分∠BAC， 3.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； （1）a = 30，b = 20； (2) ∠B＝72°，c = 14. 解：根据勾股定理得 A B C b = 20 a = 30 c (2) ∠B＝72°，c = 14. A B C b a c = 14 解： 4. 如下图，某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米? 解：如图所示，依题意可知，当∠B = 60°时， 答：梯子的长至少 4.62 米 C A B （2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° （3）边角之间的关系 （1）三边之间的关系 A B a b c C 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： （勾股定理） 课堂小结 1．数形结合思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形. 解题思想与方法小结： 2．方程思想. 3．转化（化归）思