12.3(1) 角平分线的性质-2023-2024学年八年级数学上册教学课件（人教版）

人教版初中数学八年级(上) 第12章 全等三角形 12.3(1) 角平分线的性质 角平分线的性质 探究新知 情境导入 要点归纳 典例精讲 查漏补缺 课堂小结 提升能力 用量角器度量,也可用折纸的方法.　　 【问题2】如果把前面的纸片换成木板、钢板等,还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗? 【问题1】在纸上画一个角,你能得到这个角的平分线吗？ 情境导入 温故知新 角平分线的性质 【问题3】如图,是一个角平分仪,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线, 你能说明它的道理吗? A B C (E) D 其依据是SSS,全等三角形的对应角相等. 尺规作角平分线 01 角平分线的性质 02 知识要点 精讲精练 【问题】如果没有此仪器,我们用数学作图工具,能实现该仪器的功能吗? A B O 做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法,并说明作图方法与仪器的关系. 提示： (1)已知什么?求作什么? (2)把平分角的仪器放在角的两边,仪器的顶点与角的顶点重合,且仪器的两边相等,怎样在作图中体现这个过程呢? (3)在平分角的仪器中,BC=DC,怎样在作图中体现这个过程呢? (4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗? 探究新知 知识点一 尺规作角平分线 A B M N C O 【例1】已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法： (1)以点O为圆心,适当长为半径画弧，交OA于点M,交OB于点N. (3)画射线OC.射线OC即为所求. (2)分别以点MN为圆心,大于0.5MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点C. 如何证明OC平分∠AOB 作角平分线是最基本的尺规作图 典型例题 知识点一 尺规作角平分线 已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的角平分线. 结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. A B O C 基础训练 知识点一 尺规作角平分线 尺规作角平分线 01 角平分线的性质 02 知识要点 精讲精练 1.操作测量:取点P的三个不同的位置,分别过点P作PD⊥OA,PE ⊥OB,点D、E为垂足,测量PD、PE的长.将三次数据填入下表： 2.观察测量结果,猜想线段PD与PE的大小关系,写出结：_______ PD PE 第一次 第二次 第三次 C O B A PD=PE P D E 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 实验：OC是∠AOB的平分线,点P是射线OC上的任意一点. 探究新知 知识点二 角平分线的性质 验证猜想 已知:如图,∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E. 求证:PD=PE. P A O B C D E 证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90º. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO=PEO ∠AOC=∠BOC OP=OP ∴△PDO≌△PEO(AAS). ∴PD=PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 探究新知 知识点二 角平分线的性质 一般情况下,我们要证明一个几何命题时,可以按照类似的步骤进行,即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程. 要点归纳 知识点二 角平分线的性质 要点归纳 知识点二 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1)点在角的平分线上； (2)两条垂线段； 定理的作用： 证明线段相等. ∵OP是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB， ∴PD=PE B A D O P E C 角平分线的性质定理： 推导格式： 推理的理由有三个, 必须写完全,不能少 了任何一个. 【例2】已知：如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD, DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC. A B C D E F 证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 典型例题 知识点二 角平分线的性质 1.判一判：(1)∵如下左图,AD平分∠BAC(已知), ∴BD=CD,(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等) × B A D C (2)∵如上右图,DC⊥AC,DB⊥AB(已知). ∴BD=CD,(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等) × B A D C 基础训练 知识点二 角平分线的性质 2.△ABC