28.4 垂径定理教学设计2023-2024学年冀教版九年级数学上册

28.4垂径定理教学设计冀教版九年级数学上册 数学且损 【知识与技能】1通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性： 2.掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题： 3.掌握辅助线的作法一一过圆心作一条与弦垂直的线段。 【过程与方法】1通过定理探究.培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力： 2.向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊“的基本思想方法。 【情感与态度】1.结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透： 2激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。 【教学重点】垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。 【教学难点】对垂径定理及其推论的探索和证明，并能应用垂径定理及推论进行简单计算或证明。 教笋过程 一、创设情境，导入新课 1.将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？ 2.将手中的圆沿直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦.这条弦被直径怎样了？ 3.一个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？ 4.赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲。我们能求出主桥拱的半径吗？ 【教学说明】前两个问题可以由学生动手操作，并观察结果，得到初步结论。后两个问题作为问题情境 激发学生学习兴趣，引导学生进一步的学习。教师讲课前，先让学生完成“课堂自主演练” 二、合作交流.探究新知 1.引入 (1我们已经学习了圆怎样的对称性质？ (2圆还有什么对称性质？作为轴对称图形.其对称轴是？（直径所在的直线） 3观察并回答： ①在含有一条直径AB的圆上再增加一条直径CD,两条直径的位置关系？ (两条直径始终是互相平分的) ②把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？ 【教学说明】培养学生的观察能力，概括能力，分析能力，从而调动学生学习积极性，使学生主动的获得 知识。教师讲课前.先让学生完成“课堂自主演练 2.探究1 (1圆的对称性（探究）圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？ (2垂径定理（思考）如图：AB是⊙O的一条弦，作直径CD,使CD⊥AB,垂足为E。 ①这个图形是对称图形吗？ ②你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由。 ③你能用一句话概括这些结论吗？ ④你能用几何方法证明这些结论吗？ ⑤你能用符号语雪表达这个结论吗？ 圆的对称性由学生发现并总结.教师进行板书。教师循序新进地将一个个的问题抛出，引导学生一步步地 进行思考和总结师生一起总结垂径定理并板书。 【教学说明】通过观察得出结论.并且概括自己的结论。使学生获得成功的喜悦。 证明过程： 已知：如上图.在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD⊥AB.垂足为E。 求证：AE=BE,AD=BD,AC=BC。 证明：如上图，连接OA,OB。 在△OAB中.，OA=OB.OE⊥AB :AE=BE.LAOE=LBOE。,AD=BD。 :∠AOC=180°-∠AOE.LBOC=180°-∠BOE, .LAOC=LBOC,.AC=BC。 【归纳】垂径定理：垂直干弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。 3.分析垂径定理的条件和结论 (1)引导学生说出定理的几何语言表达形式。 如上图，如上图.在OO中，CD为直径，AB为弦.且CD⊥AB.垂足为E。 AE=BE.AD=BD,AC BC (2利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理的本质了解。 看下列图形.是否能使用垂径定理？ 垂径定理的变式：一条直线具有2个条件：①经过圆心：②垂直干弦 得到3个结论：①平分弦②平分弦所对的劣弧③平分弦所对的优弧 (3)引申定理：定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。 【数学说明】让学生进一步熟悉垂径定理的条件与结论.并为探索垂径定理的推论打基 础。 4.探究2见教材第164页“大家谈谈” 学生尝试得出垂径定理推论，教师规范并板书。数师提醒学生此中的弦一定不能是直径。 【教学说明】让学生亲自探索出各条推论.以使学生以后在应用中可明明白白不加怀疑的应用知二推三 并培养学生的团队意识及资源共享的意识。 【归纳】垂径定理推论：在OO中，设直径CD与弦AB(非直径)相交干点E,若把AE=BE,CD⊥AB, AD=BD,中的一项作为条件，则可得到另外两项结论。 三、典例精析。竿握新知 例1.如图。在⊙0中弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离OD=3cm.则oO的半径为 cm? 在例1中教师可通过问题设置，引导学生联系弦、半径、弦心距或者拱高等因素，从而构成直角三角 形.利用勾股定理解决问题。这也是解决计算问题的主要方法，教师一定要重点重申。 问题：(1)连结什么可得到一个直角三形？ (2)利用什么知识可以解得半径。 (3)从中你可总结出利用垂径定理计算的什么技巧？ 【答案】5 例2.已知，如图.CD为⊙O的直径，AB为弦.且AB