专题04用空间向量研究直线、平面的位置关系（4个知识点6种题型2个易错点）-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修第一册）

专题04用空间向量研究直线、平面的位置关系（4个知识点6种题型2个易错点） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1：空间直线的方向向量和平面的法向量 知识点2：空间中直线、平面的平行 知识点3：空间中直线、平面的垂直 知识点4：用向量方法讨论垂直与平行 【方法二】 实例探索法 题型1：直线的方向向量和平面的法向量 题型2：空间中直线、平面的平行问题 题型3：一题多解——利用空间向量解决平行问题 题型4：空间中直线、平面的垂直问题 题型5：一题多解——利用空间向量解决垂直问题 题型6：用空间向量解决立体几何中与平行、垂直相关的探索性问题 【方法三】 差异对比法 易错点1：判断线面、线线位置关系考虑不全致错 易错点2：证明线面平行、面面平行条件表达不全致错 【方法四】 成果评定法 【倍速学习四种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1：空间直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量： 空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定． 直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意： ①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行． ②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量． 2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量． 3、平面的法向量： 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意： ①法向量一定是非零向量； ②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行； ③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有•＝0． ④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量． 4、法向量的求法： （1）设：设出平面法向量的坐标为＝（u，v，w）； （2）列：根据＝0，＝0，列出方程组； （3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量 （4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标． 知识点2：空间中直线、平面的平行 （1）线线平行:若分别为直线的方向向量,则使得 . （2）线面平行:设直线的方向向量,是平面的法向量,，则 . 法2:在平面内取一个非零向量,若存在实数,使得,且，则. 法3:在平面内取两个不共线向量,若存在实数，使得,且,则 （3）面面平行:设分别是平面的法向量，则，使得. 知识点3：空间中直线、平面的垂直 （1）线线垂直:若分别为直线的方向向量,则. （2）线面垂直: 设直线的方向向量, 是平面的法向量,则，使得. 法2: 在平面内取两个不共线向量,若.则. （3）面面垂直: 设分别是平面的法向量，则. 知识点4：用向量方法讨论垂直与平行 图示 向量证明方法 线线平行 （//） // （分别为直线的方向向量） 线线垂直 （） （分别为直线的方向向量） 线面平行 （//） ，即 （是直线的方向向量，是平面的法向量）． 线面垂直 （） // （是直线的方向向量，是平面的法向量） 面面平行 （//） （分别是平面，的法向量） 面面垂直 （） ，即 （，分别是平面，的法向量） 【方法二】实例探索法 题型1：直线的方向向量和平面的法向量 一、单选题 1．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期末）已知向量，则平面的一个法向量（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·福建莆田·高二统考期末）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 3．（2023秋·高二课时练习）（多选）已知平面内两向量，且，若为平面的一个法向量，则（　　） A． B． C． D． 三、填空题 4．（2023·江苏·高二专题练习）已知，，，则平面的一个法向量是 ． 5．（2023秋·高二课时练习）在直三棱柱中，，，平面的一个法向量为，则棱的长为 ． 6．（2023秋·高二单元测试）在空间直角坐标系中，已知，若平面的一个法向量为，则直线的一个方向向量为 ． 7．（2023春·高二课时练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：平面BHD的一个法向量 ； 8．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AB=BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，CD的中点，沿EF把AEFD折起，使平面AEF