奥数 第3讲 数数与计数（二）（讲义）人教版四年级下册数学

第三讲 数数与计数（二) 例1、数一数，图3一1中共有多少点？ - 解：(1)方法1：如图3一2所示从上往下一层一层数： ● ● ● 图3-2 第一层1个 第二层2个 第三层3个 第四层4个 第五层5个 第六层6个 第七层7个 第八层8个 第九层9个 第十层10个 第十一层9个 第十二层8个 第十三层7个 第十四层6个 第十五层5个 第十六层4个 第十七层3个 第十八层2个 第十九层1个 总数=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 =(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)+(9+8+7+6+5+4+3+2+1) =55+45=100(利用已学过的知识计算). 解：(2)方法2：如图3一3所示：从上往下，沿折线数 ● ● -● 海● 图3-3 第一层1个 第二层3个 第三层5个 第四层7个 第五层9个 第六层11个 第七层13个 第八层15个 第九层17个 第十层19个 总数：=1+3+5+79+11+13+15+17+19=100（利用已学过的知识计算）， 解：(3)方法3：把点群的整体转个角度，成为如图3一4所示的样子，变成为10 行10列的点阵.显然点的总数为 公坐雪…坐·雪业·雪坐雪特 并·钟··钟··件·件羽 常多叫女雪…物少…齿多步多 第第第…南。 分要☑你…分收…分缘…分0 多心多…必之多心电 堪雪·雪以雪其受地雪 … 10×10=100(个). 想一想： ①数数与计数，有时有不同的方法，需要多动脑筋. ②由方法1和方法3得出下式： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10 即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此 3 我们猜想： 1=1×1 1+2+1=2×2 1+2+3+2+1=3×3 1+2+3+4+3+2+1=4×4 1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6 1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×7 1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8 1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×9 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10 这样的等式还可以一直写下去，能写出很多很多 同学们可以自己检验一下，看是否正确，如果正确我们就 发现了一条规律， ③由方法2和方法3也可以得出下式： 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10. 即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此 我们猜想： 1+3=2×2 1+3+5=3×3 1+3+5+7=4×4 1+3+5+7+9=5×5 1+3+5+7+9+11=6×6 1+3+5+7+9+11+13=7×7 1+3+5+7+9+11+13+15=8×8 1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×9 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10 还可往下一直写下去，同学们自己检验一下，看是否正确， 如果正确，我们就又发现了一条规律。 例2、数一数，图3一5中有多少条线段？ A B C D E F ●●◆●●一● 图3-5 解：(1)我们已知，两点间的直线部分是一条线段.以A 点为共同端点的线段有：5条， A-B、A-C、A-D、A-E、A-F 以B点为共同左端点的线段有：4条 BC、B-D、B-E、B-F 以C点为共同左端点的线段有：3条 C-D、C-E、C-F 以D点为共同左端点的线段有：2条 D-E、D-F 以E点为共同左端点的线段有：1条， E-F 总数5+4+3+2+1=15条. 解：(2)用图示法更为直观明了.见图3一6. 图36 总数5+4+3+2+1=15（条）. 想一想：①由例2可知，一条大线段上有六个点，就有： 总数=5+4+3+2+1条线段.由此猜想如下规律（见图3一7）： 两个点：，一1条线段 三个点：一2+1条线段 四个点： ·一32+1条线段 五个点：· +一4+3+2+1条线段 六个点： 一5+4+32+1条线段 图3-7 还可以一直做下去.总之，线段总条线是从1开始的一串连续自然数之和，其中最 大的自然数比总数小1.我们又发现了一条规律.它说明了点数与线段总数之间的 关系 ②上面的事实也可以这样说：如果把相邻两点间的线段叫做基本线段，那么一条 大线段上的基本线段数和线段总条数之间的关系是： 线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本线 段的条数（见图3一8），基本线段数 一条一1 二条 2+1 三条 一32+1 四条 4+3+2+1 五条一 ++5+4+3+2+1 图3-8 还可以一直写下去，同学们可以自己