奥数 第8讲 找规律（三）（讲义）人教版四年级下册数学

第8讲 找规律（三） 数学家看问题，总想找规律.我们学数学，也要向他们学习.找规律，要从简单 的情况着手，仔细观察，得到启示，大胆猜想，找出一般规律，还要进行验证， 最后还需要证明（在小学阶段不要求同学们进行证明）· 例1、沿直尺的边缘把纸上的两个点连起来，这个图形就叫做线段.这两个点就 叫线段的端点，如图8一1一1所示.不难看出，线段也可以看成是直线上两点间的 部分.如果一条直线上标出11个点，如图8一1一2所示，任何两点间的部分都是一 条线段，问共有多少条线段。 端点 图8-1-1 12345818810出 图8-1-2 解：先从简单的情况着手 (1)画一画，数一数：（见图8一1一3） (2)试着分析： 2个点，线段条数：1=1 3个点，线段条数：3=2+1 4个点，线段条数：6=3+2+1 5个点，线段条数：10=4+3+2+1 两个点，1条线段： 三个点，3条线段： 四个点，6条线段： 五个点，10条线段： 图8-1-3 (3)大胆猜想：一条直线上有若干点时线段的条数总是从1开始的一串自然数相 加之和，其中最大的自然数比点数小1. (4)进行验证：对于更多点的情况，对猜想进行验证，看猜想是否正确，如果 正确，就增加了对猜想的信心.如：6个点时：对不对？一一对.见图8一1一4. 线段条数：5+4+3+2+1=15（条）. (5)应用规律：应用猜想到的规律解决更复杂的问题.当直线上有11个点时，线 段的条数应是：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（条）. 例2、如图8一2中(1)~(5)所示两条直线相交只有1个交点，3条直线相交最 多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，…那么，11条直线相交最多 有多少交点？解：从简单情况着手研究： (1)画一画、数一数 1条直线 0个交点 3条直线 3个交点 5条直线 10个交点 2条直线 X 1个交点 4条直线 6个交点 图8-2 (2)试着分析：直线条数最多交点数 1、0 2、1=1 3、3=2+1 4、6=3+2+1 5、10=4+3+2+1 (3)大胆猜想：若干条直线相交时，最多的交点数是从1开始的一串自然数相加 之和，其中最大的自然数比直线条数小1. (4)进行验证：见图8一3.取6条直线相交，画一画，数一数，看一看最多交点 个数与猜想的是否一致，若相符，则更增强了对猜想的信心. 图8-3 用猜想的算法进行计算：最多交点数应是5+4+3+2+1=15（个）. (5)应用规律：应用猜想到的规律解决更复杂的问题.当有11条直线相交时，最 多的交点数应是：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（个）， 例3、如图8一4所示，一张大饼，切1刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，切3 刀最多切成7块，…问切10刀最多切成多少块？ 解：从最简单情况着手研究. (1)画一画、数一数 切0刀 切4对11块 刀r快 (2)试着分析： 所切刀数切出的块数 0、1 1、2=1+1 2、4=1+1+2 3、7=1+1+2+3 4、11=1+1+2+3+4 (3)大胆猜想：把一张大饼切若干刀时，切成的最多块数等于从1开始的一串自 然数相加之和加1.其中最大的自然数等于切的刀数。 (4)进行验证：见图8一5对大饼切5刀的情况用两种方法求解，看结果是否一致， 若一致则更增强了对猜想的信心， ①数一数：16块. ②算一算：1+1+2+3+4+5=16（块）. (5)应用规律：把大饼切10刀时，最多切成的块数是： 1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =1+55 =56(块). 模拟练习 1.如图8一6所示，直线上有13个点，任意两点间的部分都构成一条线段，问共构 成多少条线段？ 8&&88&8808 图8-6 2.如图8一7所示，两条直线最多有一个交点，三条直线最多有三个交点，四条直 线最多有六个交点，…，问十三条直线最多有几个交点？ 图8-7 3.图8一8所示为切大饼示意图，已知切1刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，切 3刀最多切成7块，…，问切12刀最多切成多少块？ 图8-8 4.如图8一9所示，将自然数从小到大沿三角形的边成螺旋状，排列起来，2在第 一个拐弯处，4在第二个拐弯处，7在第三个拐弯处，…，问在第十个拐弯处 的自然数是几？ 22 7Q20 9809 ●5●18 102●◆04●17 ● 11 11410 图8-9 5.如图8一10所示为切大饼的示意图.切一刀只有一种切法，切两刀有2种切法， 切三刀有4种切法，…，问切十一刀有多少种切法（规定：三刀或三刀以上 不能切在同一点上，如图8一11所示) 切一刀种物建 切两刀2种法 61 73 切三刀⅓种项表 图8-10 不允W的切健 习题八答案 1.解：利用例1得到的规律可知：一条直线上有若干点时，线段的条数是从1开始