21.1 一元二次方程 课件 2023—2024学年人教版数学九年级上册

21.1 一元二次方程 第二十一章 一元二次方程 要设计一座2 m高的人体雕像，修雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？ 分析：雕像上部的高度AC，下部的高度BC应有如下关系： 设雕像下部高x m，于是得方程 整理得 x2＋2x－4＝0. x2＝2(2－x)， A C B 2 cm 情境导入 ① 问题1 ：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 提示：设切去的正方形的边长为x cm， 则盒底的长为（100－2x）cm，宽为（50－2x）cm， 根据方盒的底面积为3 600 cm2，得（100－2x）（50－2x）＝3 600. x 整理，得 4x2－300x+1 400＝0. 化简，得x2－75x+350＝0 . ② 由方程②可以得出所切正方形的具体尺寸． 探究新知 问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 设应邀请x个队参赛，每个队要与其它（x－1）个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 场． 列方程 整理，得 化简，得 由方程③可以得出参赛队数． 提示：全部比赛共4×7＝28场. ③ 方程① ② ③有什么特点？ (1)这些方程的两边都是整式； (2)方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2. 像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）， 并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. ③ x2－75x+350＝0 ② x2＋2x－4＝0 ① 观察思考 判断下列方程，哪些是一元二次方程 . （1）x3－2x2＋5＝0； （2） （3）2（x＋1）2＝3（x＋1）； （4）x2－2x＝x2＋1； （5）ax2＋bx＋c＝0. (3) 做一做 这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式 例1 将方程3x(x－1)＝5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项． 3x2－3x＝5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式： 3x2－8x－10＝0. 其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－1. 解：去括号，得 典例精讲 1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项： （1）5x2－1＝4x；（2）4x2＝81； （3）4x(x+2)＝25；（4）(3x-2)(x+1) ＝8x-3. 解：（1）一般式：5x2－4x－1＝0. 二次项系数为5，一次项系数－4，常数项－1. （2）一般式：4x2－81＝0. 二次项系数为4，一次项系数0，常数项－81. 练习 1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项： （1）5x2－1＝4x；（2）4x2＝81； （3）4x(x+2)＝25；（4）(3x-2)(x+1) ＝8x-3. 练习 解：（3）一般式：4x2＋8x－25＝0. 二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25. （4）一般式：3x2－7x＋1＝0. 二次项系数为3，一次项系数－7，常数项1. 2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x； 解：设其边长为x，则面积为x2， 4x2＝25， 练习 x(x－2)＝100， x2－2x－100＝0. 解：设长为x，则宽（x－20）， 练习 2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x； x·1 ＝ (1－x) 2， x2－3x＋1＝0. 解：设其中的较短一段为x，则另较长一段为（1－x）， 练习 2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： （3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x； 练习 2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： （4）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x． 解：设较长