第08讲 二次根式的乘除（知识解读+题型精讲+随堂检测）-2023-2024学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

第08讲 二次根式乘除 知识点1： 二次根式的乘法法则 1. 二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 知识点2：二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 注意： （1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 知识点3：最简二次根式 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【题型一：求字母的取值范围】 【典例1】（2023春•单县期末）能使等式＝成立的条件是（　　） A．x＞0 B．x≥3 C．x≥0 D．x＞3 【变式1-1】（2023春•淄博期末）若成立，则x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x≤3 C．2≤x≤3 D．2＜x＜3 【变式1-2】（2023春•兴县期中）若成立，则（　　） A．x＜6 B．0≤x≤6 C．x≥0 D．0≤x＜6 【变式1-3】（2022秋•宁德期末）若，则（　　） A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数 【题型二：二次根式乘除的运算】 【典例2】（2023春•密云区期末）计算：2． 【变式2-1】（2022秋•东平县校级期末） 【变式2-2】（2022春•湟中区校级月考）3×2． 【变式2-3】（2022秋•莲湖区期中）计算：2×÷． 【变式2-4】（2022春•宁武县期末）计算： （1）； （2）． 【题型三：二次根式符号的化简】 【典例5】（2022秋•嘉定区校级月考）计算：•+． 【变式5-1】（2022秋•浦东新区期中）计算：•（﹣）÷（a＞0） 【变式5-2】（2022秋•虹口区校级月考）化简：•÷． 【变式5-3】（2022秋•虹口区校级期中）计算：3•÷（﹣）． 【题型四：最简二次根式的判断】 【典例4】（2023春•东莞市期中）下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023春•正阳县期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023春•金安区校级期末）若是最简二次根式，则a的值可能是（　　） A．﹣2 B．2 C． D． 【题型五：化简最简二次根式】 【典例5】（2023春•岱岳区期末）化简＝　　 ． 【变式5-1】（2022秋•阜宁县期末）化简＝　 　． 【变式5-2】（2023春•保康县期中）化简：＝　 　． 【题型六：已知最简二次根式求参数】 【典例6】（2023春•文登区期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为 　　． 【变式6-1】（2023春•同江市期中）若最简二次根式与最简二次根式相等，则m+n＝　　． 【变式6-2】（2023春•虞城县期末）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 　 　． 【题型七：分母有理化】 【典例7】（2023春•老河口市期中）化简：＝　 　． 【变式7-1】（2022春•沂水县期中）计算的结果是　　 ． 【变式7-2】（2022春•灵宝市校级月考）计算：+＝　 ． 【变式7-3】（2022秋•杏花岭区期中）4﹣的倒数是 　 　． 【变式7-4】（2021秋•覃塘区期末）计算：＝　 　． 【题型八：比较二次根式的大小】 【典例8】比较大小：　　． 【变式8】（2022秋•裕华区期末）若a＝3﹣，b＝，则a　　b（用“＜”，“＞”或“＝”填空）． 【题型九：分母有理化的应用】 【典例9】（2023春•惠城区校级期中）数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题．