21.3 实际问题与一元二次方程（第2课时） 教学设计 2023—2024学年人教版数学九年级上册

课程基本信息 课题 21.3实际问题和一元二次方程（2） 教学目标 教学目标： 1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理. 2.经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型. 3.感受与“增长率、下降率”相关的数学模型中的数量关系，提高用数学模型解释现实问题的能力，培养分析问题和解决问题的能力. 教学重点：掌握建立数学模型以解决平均变化率问题. 教学难点：分析题意，建立正确的数学模型. 教学过程 时间 教学环节 主要师生活动 复习 复习：用方程解决实际问题的步骤是什么？ 设计意图：梳理前一节课所学，体会建立数学模型解决实际问题的思想和方法, 为本节课后续学习做好铺垫. 探究思考 探究： 2019年，研究人员在某杂志发表论文说，他们分析了两颗卫星的观测数据，发现在2000年至2017年间全球绿化面积增加了5%.其中约四分之一来自中国,贡献比例居全球首位.研究人员认为原因是中国在植树造林和集约农业等方面有突出表现. （1） 经调查，2000年全球绿化面积大约是38亿公顷，则2017年全球绿化面积大约是多少亿公顷？ （2） 如果保持此增长率继续增长，那么到2034年，全球绿化面积约能达到多少呢？ （3） 如果增长率是6%，那么2017年和2034年的全球绿化面积又该怎么表示呢？ （4） 如果增长率用 x 表示，那么2017年和2034年的全球绿化面积又该怎么表示呢？ 设计意图：(1)-(4)通过层层递进的问题，帮助学生理解“增长率”的含义： 并自然生成关于连续增长的数量关系，形成数学模型，建立一元二次方程和平均变化率实际问题之间的联系. （5） 当增长率为多少时，2034年的全球绿化面积可以达到45亿公顷？ (精确到1%) 设计意图：在形成和熟悉增长率有关模型的前提下，建立方程，解决实际问题..在解决问题的过程中，在此巩固用方程解决实际问题的思想和流程. 归纳小结：类似地 ，这种变化率的问题在实际生活普遍存在，例如人口增长率、成本下降率等.本节讨论的是两轮（即两个时间段）的平均变化率，它可以用一元二次方程作为数学模型，设平均变化率为x，则有下列关系： 变化前数量×( 1± x )²=变化后数量. 设计意图：通过小结，归纳变化率问题的共同特征，并在一元二次方程和连续增长两次的问题之间建立知识联系，帮助学生形成解决同类问题的策略，并适时补充下降率的有关知识. 课堂练习 (1)某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2019年投入 3 000 万元，预计2021年投入 5 000 万元．设教育经费的年平均增长率为 x，根据题意，下面所列方程正确的是( ). A. 3000( 1+x2 ) = 5000 B. 3000 x2 = 5000 C. 3000( 1+x )2 = 5000 D. 3000(1+x%)2 = 5000 (2)某商品原价 289 元，经连续两次降价后售价为 256 元，设平均每次降价的百分率为 x，则下面所列方程正确的是 ( ). A. 289 (1- x%)2 = 256 B. 289 (1 - x )2 = 256 C. 256 (1- x%)2 = 289 D. 256 (1- x )2 = 289 设计意图：两道简单的应用，有助于学生加深对新生知识的理解和熟练，也便于教师了解学生掌握情况，便于后面内容的继续推进 课堂例题 例题： 两年前生产1吨甲种药品的成本是 5 000元，生产1吨乙种药品的成本是 6 000元，随着生产技术的进步，现在生产 1吨甲种药品的成本是 3 000元，生产1吨乙种药品的成本是 3 600元. (1) 两种药品成本的年平均下降额各是多少? (2) 两种药品成本的年平均下降率各是多少?哪个大？ 设计意图：教材中的这道例题是平均变化率问题的完美体现.拆分为两个问题，是希望通过不同量的计算， 引导学生区分平均值和平均变化率的区别。在讨论和辨别的过程中，使学生进一步加深对“平均变化率”的理解,提高前面探究得到的数学模型的理解和运用能力，教会学生用数学的眼光看实际生活.对于相近但不相同的“平均下降额”和“平均下降率”两个概念，引导学生进行分析和辨别，进一步明确实际问题中不同名词概念的涵义和实质，提高学生准确进行阅读理解的能力. 思考： 1.经过计算，你可以得到什么结论？ 2.成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？ 3.应怎样全面的比较几个对象的变化状况？ 设计意图：例题后设计的思考可以促进学生对实际背景的深入思考，很多实际问题中都要考虑数学之外的因素，但类似问题的数学内核却是相通的.这些问题