专题13.3 利用轴对称的性质解决将军饮马问题（五大题型）-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题13.3 利用轴对称的性质解决将军饮马问题之五大题型 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【题型一 在几何中找线段和最小值的点】 1 【题型二 三角形中线段和的最小值问题】 6 【题型三 在角中线段和最小值的问题】 13 【题型四 在全等三角形中线段和最小值的问题】 18 【题型五 实际问题中的最短路径问题】 22 【典型例题】 【题型一 在几何中找线段和最小值的点】 例题：如图，已知，两点在直线的同一侧，根据题意，用尺规作图．    (1)在（图①）直线上找出一点，使； (2)在（图②）直线上找出一点，使的值最小； (3)在（图③）直线上找出一点，使的值最大． 【变式训练】 1.如图，在平面直角坐标系中，点． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)在y轴上画出点P，使得最小，并直接写出点P的坐标． 2．在如图所示的直角坐标系中，已知，，． (1)在图中画出，以及关于y轴成轴对称的； (2)的面积为______； (3)在x轴上找一点P，使得的周长最小（保留作图痕迹）． 3．如图，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)请画出向右平移5个单位长度后得到； (2)在x轴上找出一点P，使的周长最小，并直接写出点P的坐标． 【题型二 三角形中线段和的最小值问题】 例题：（2023·浙江·八年级假期作业）如图，是的角平分线，的面积为12，长为6，点E，F分别是，上的动点，则的最小值是（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式训练】 1．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，在中，，，面积是10；的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为（    ）    A．7 B．9 C．10 D．14 2．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是14，腰的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ；    3．在中，，D是边上一点，，E，F分别是边上的动点，则的最小值为 ． 4．（2023春·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）如图，在等腰中，，，作于点D，，点E为边上的中点，点P为上一动点，则的最小值为 ．    5．如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，． (1)求的最小值，并说明理由． (2)求周长的最小值． 6．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M． (1)若∠B=70°，则∠NMA的度数是　　； (2)探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由； (3)连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm． ①求BC的长； ②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由． 【题型三 在角中线段和最小值的问题】 例题：（2023秋·甘肃·八年级统考期末）如图，，M是边上的一个定点，且，N，P分别是边上的动点，则的最小值是 ． 【变式训练】 1．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，点，分别是角两边、上的定点，，．点，分别是边，上的动点，则的最小值是 ．    2．（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； （3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值． 【题型四 在全等三角形中线段和最小值的问题】 例题：直观感知和操作确认是发现几何学习的重要方式，解决下列问题． (1)问题情境：如图1，三个相同的三角尺拼成一个图形，直接写出图中的平行线； (2)问题理解：如图2，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，若点M是线段BC的三等分点（其中CM>BM），点P是线段AC上的一个动点，画出BP＋PM取得最小值时点P的位置，并说明理由； (3)问题运用：如图3，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，点M是直线BD上的一个动点，点P是线段CE上的一个动点．若AC＝a、CE＝b、AE＝c（其中a、b、c为常数），求DP＋PM的最小值． 【变式训练】 1．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．      (1)直接填空：与的位置关系是__________； (2)点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值；