3.2 双曲线-2023-2024学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

3.2　双曲线 【划重点】 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及其求法 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题． 3．掌握双曲线的简单几何性质. 4．理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 5．会判断直线与双曲线的位置关系． 【知识梳理】 知识点一　双曲线的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． 2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． 3．焦点：两个定点F1，F2. 4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|. 知识点二　双曲线的标准方程与性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 知识点三　等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为. 知识点四　直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 知识点五　弦长公式 若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝. 【例题详解】 1、 双曲线的定义及其应用 例1　(1)已知，，动点P满足（a为常数），则下列说法中错误的是（    ） A．时，点P的轨迹是y轴 B．时，点P的轨迹是一条直线 C．或时，点P的轨迹不存在 D．时，点P的轨迹是双曲线 (2)平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（    ） A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线 (3)双曲线上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为（　　） A．1或21 B．14或36 C．2 D．21 跟踪训练1　(1)在平面直角坐标系中，已知点，，动点Р满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．双曲线的一支 (2)已知双曲线上一点到双曲线的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为 ． 二、双曲线的简单几何性质 例2　(1)（多选）关于双曲线与双曲线，下列说法不正确的是（    ） A．实轴长相等 B．离心率相等 C．焦距相等 D．焦点到渐近线的距离相等 (2)求下列双曲线的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率及渐近线方程： ①； ②； ③； ④． 跟踪训练2　(1)（多选）已知双曲线C：，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的实轴长为2 B．若（4，0）是双曲线C的一个焦点，则m=6 C．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m=2 D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为m (2)求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程． 三、求双曲线的标准方程 例3　(1)以直线为渐近线，一个焦点坐标为的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． (2)在双曲线中，虚轴长为6，且双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． (3)根据下列条件，求双曲线的标准方程： ①以椭圆短轴的两个端点为焦点，且过点； ②经过点和． 跟踪训练3 (1)顶点距离为6，渐近线方程是的双曲线方程是（    ） A．或 B．或 C． D． (2)已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 四、与双曲线有关的轨迹问题 例4 (1)若动点满足关系式，则点的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支 (2)动圆M与圆：，圆：，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． (3)已知，，若点满足，则P点的轨迹是什么，并求点P的轨迹方程. 跟踪训练4　求下列动圆的圆心的轨迹方程： (1)与圆和圆都内切； (2)与圆内切，且与圆外切； (3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程. 五