3.1 椭圆-2023-2024学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第三章《圆锥曲线的方程》 3.1　椭圆 【划重点】 1．理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程. 2．掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程． 3．掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义. 4．会判断直线与椭圆的位置关系． 【知识梳理】 知识点一　椭圆的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|. 知识点二　椭圆的标准方程及其几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 知识点三　直线与椭圆的位置关系 (1)直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立 消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ的取值 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 (2)弦长公式： 设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝ 或 |AB|＝ (k为直线斜率)． 【例题详解】 一、椭圆的定义及其应用 例1　(1)设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 (2)设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（    ） A． B． C．4 D． (3)设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（    ） A．12 B．24 C． D． 跟踪训练1　(1)P是椭圆上的一点，F是椭圆的左焦点，O是坐标原点，已知点M是线段PF的中点，且，则（    ） A． B． C． D． (2)已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 二、椭圆的简单几何性质 例2　(1)椭圆与椭圆的（　　） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 (2)椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． (3)中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2　(1)已知椭圆为两个焦点，为椭圆上一点，若的周长为4，则（    ） A．2 B．3 C． D． (2)（多选）已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的短轴长为 B．的坐标为 C．椭圆的离心率为 D．存在点P，使得 三、求椭圆的标准方程 例3　求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点； (2)经过两点和； (3)经过两点. (4)过点且与椭圆有相同焦点. 跟踪训练3 求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴在x轴上，长轴长为12，离心率为； (2)椭圆过点，离心率； (3)在x轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为8； (4)与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2． 四、与椭圆有关的轨迹问题 例4 (1)在平面直角坐标系中，点到点、的距离之和为，则点的轨迹方程是 . (2)已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为 ． 跟踪训练4　(1)已知定圆，圆，动圆M和定圆外切和圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程． (2)点是圆内一定点，动圆与已知圆相内切且过点，判断圆心的轨迹． (3)已知是椭圆上一动点，为坐标原点，求线段的中点的轨迹方程． 五、求椭圆的离心率 例5 (1)椭圆的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为（　　） A． B．-1 C． D． (2)已知椭圆的三个顶点构成等边三角形，则椭圆的离心率是 . 跟踪训练5　(1)已知是椭圆的两个焦点，是上一点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． (2)已