专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训-2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训 【题型目录】 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 构造一元二次方程求代数式的值 题型五 由两根关系求方程字母系数 题型六 根与系数关系的新定义问题 题型七 一元二次方程根与系数的关系综合 【知识梳理】 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例1】（2023·上海·八年级假期作业）已知，是关于的一元二次方程的两实数根，且满足，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【变式训练】 1．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（    ） A．4 B．3 C． D． 2．（2023·湖北鄂州·统考二模）若实数分别满足，且，则代数式的值为 ． 3．（2023秋·陕西咸阳·九年级统考期末）已知 ，是关于x的方程的两个实数根，若，求m的值． 【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 【例2】（2023秋·湖北恩施·九年级期末）若是方程的两个实数根，则代数式的值等于(    ) A．2020 B．2019 C．2029 D．2028 【变式训练】 1．（2023春·江苏宿迁·九年级沭阳县怀文中学校联考阶段练习）若m，n分别是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2023·湖北鄂州·统考一模）若实数、分别满足，，且，则的值为 ． 3．（2023秋·四川达州·九年级统考期末）（1）解方程：； （2）若，是方程的两个实数根，求的值． 【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 【例3】（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）已知，是方程的两个实根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023春·八年级课时练习）如果m、n是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是（　　） A．2023 B．2027 C．2028 D．2029 2．（2023·江苏苏州·校考二模）如果一元二次方程的两个根为，，则 ． 3．（2023春·安徽安庆·八年级校考阶段练习）若是方程的两个实数根，求的值． 【经典例题四 构造一元二次方程求代数式的值】 【例4】（2023春·浙江·八年级期中）已知，且有及，则的值为（    ） A． B．2018 C．3 D． 【变式训练】 1．（2023春·浙江·八年级期中）若关于x的一元二次方程 的一个根为m，则方程的两根分别是（    ）． A．， B．， C．， D． ， 2．（2023·浙江嘉兴·统考一模）已知，，且，则______． 3．（2023·湖北襄阳·统考一模）阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应