专题22.9 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题22.9 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质 （知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)与y=a（x-h）²+k(a≠0)之间的相互关系 1. 顶点式化成一般式 　从函数解析式y=a（x-h）²+k(a≠0)我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称 y=a（x-h）²+k(a≠0)为顶点式，将顶点式y=a（x-h）²+k(a≠0)去括号，合并同类项就可化成一般式y=ax²+bx+c(a≠0)． 2.一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 【知识点2】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1）先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2）求抛物线与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 【知识点3】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质 1.二次函数图象与性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大（小）值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号） 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号） 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【知识点4】求二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的最大（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，． 【考点一】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)➽➼➻化为顶点式➽➼➻对称轴✭✭顶点坐标 【例1】通过配方把下列函数化成的形式，写出函数图象的对称轴位置和顶点坐标． （1）； （2）． 【分析】：（1）根据配方法将一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解； （2）根据配方法将一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解． 解：（1）， 对称轴是过点且平行于轴的直线，顶点坐标是 ． （2）， 对称轴是过点且平行于轴的直线，顶点坐标是 【点拨】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握配方法，将解析式化为顶点式是解题的关键． 【举一反三】 【变式】利用配方法求出下列抛物线的顶点坐标和对称轴． （1）； （2） ； （3） 【分析】利用配方法把对应的抛物线解析式化为顶点式即可得到答案． （1）解： ， ∴函数的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解： ， ∴函数的顶点坐标为，对称轴为直线； （3）解： ， ∴函数的顶点坐标为，对称轴为直线． 【点拨】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，正确利用配方法求解是解题的关键． 【考点二】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)➽➼➻画二次函数图象（抛物线） 【例2】在同一平面直角坐标系中，画出函数、和 的图象． 【分析】先用列表法画出函数的图象，平移此图象即可分别得到和 的图象． 解：列表如下： x … 0 1 … … 0 … 连线：画出函数的图象，把函数的图象向左平移1个单位得到的图象，把函数的图象向右平移1个单位得到的图象；所画的三个函数图象如图：    【点拨】本题考查了画函数图象及函数图象图象的平移，平移规律为：上加下减，左加右减，掌握二次函数图象的基本画法是关键． 【举一反三】 【变式】在同一个直角坐标系中作出，的图象，比较它们的异同，并找出它们的关系． 【分析】根据二次函数图象的画法正确画出函数图象，可以看出两函数图象的异同点． 解：列表：