13.1三角形中的边角关系、命题与证明-三角形的内外角 课件 2023--2024学年沪科版数学八年级上册

三角形的内外角 沪科版八年级上册数学 三角形内角和定理及推理方法 知识梳理 A B C 180° 证明 利用平行线 移动角构造同旁内角或者平角 平行线 180° 平行线 180° 2 3 平行线 2 3 2 3 4 4 5 4 6 A B C A B C A B C 三角形内角和等于180度 1 1 1 F 3 三角形外角性质 三角形外角性质一：三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； ∠BAC ∠ABC ∠ACB + + =180 A B C 180° D ∠ACD ∠ACB + =180 ∠BAC ∠ABC ∠ACD + = ∠BAC ∠ABC ∠ACD > ∠ACD > 三角形外角性质二：三角形一个外角大于任何一个与它不相邻的内角； 知识梳理 三角形外角性质 5 【例】如图，已知△ABC，点D在BC的延长线上，点E在CA的延长线上，点F在AB上，试比较∠1和∠2的大小. 分析： 在△AEF、△ABC中应用外角性质判断大小关系 ∠1为△AEF的内角， ∠2为△ABC的外角 D 1 2 A B C E F ∵∠1为△AEF的内角，∠BAC为△AEF的外角， ∵∠2为△ABC的外角， ∴∠2 ∠1 解： ∴∠BAC∠1； ∴∠2 ∠BAC， 总结 确定∠1，∠2是哪个三角形的外角很关键，这也是应用三角形外角性质问题的一个关键点. 6 在三角板与直尺中求角度 【例】如图，将一块含有30°角的直角三角板(∠BAC=90°，∠C=30°)的两个顶点放在直尺的一组对边上，如果∠2＝49.5°，那么∠1的度数为______. 2 P C A T S N M B 分析： ∠2=∠APB 应用外角性质求解角度 直尺的两边平行 由MN//ST得： ∠APB=∠2=49.5 ° 30 ° 1 ∵∠APB为△BCP的外角， ∴∠APB ∠C∠1 ∴∠1=∠APB∠C49.53019.5 即 ∠1的度数为19.5 解： 总结 处理此类问题，关键在于隐含信息的挖掘，如：直尺—对边平行，三角板—各个角度数固定等. 49.5 ° 49.5 ° 19.5 ∠APB是△BCP的外角 8 与平行线综合求角度 【例】如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE//BC交AB于E，∠A60°，∠BDC＝95°，求∠BDE的度数． 分析： 寻找∠A，∠BDC 与∠BDE的关系 在△ABD中 应用外角性质求解角度 利用角平分线的定义 与平行线的性质 ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD ∵DE//BC， ∴∠BDE=∠CBD 解： ∴∠BDE=∠ABD ∵∠BDC为△ABD的外角， ∴∠BDE=∠ABD= ∠BDC∠A=9560=35 ∴ ∠BDE=35 总结 主要利用平行线的性质和角平分线的定义对角度进行转化，再结合三角形外角的性质得到角之间的关系进行求解. B E A D C 60 ° 95 ° ∴∠BDC∠A∠ABD 10 折叠求角度 F P A B C E D 【例】将一张三角形纸片ABC的一角折叠， (1)如图1若使点A落在△ABC外的P处，折痕为DE，若∠A=20，∠CEP=50，则∠BDP的大小为________. 分析： 在△ADF和△EFP 中讨论 ∠A，∠CEP与∠AFD的关系 应用外角性质 求解角度 分析∠BDP的位置 找到△ADF 图1 ∵∠BDP为△ADF的外角， ∴∠BDP =∠A+∠AFD ∵∠AFD为△EFP的外角， ∴∠AFD =∠CEP+∠P=50°+20°=70° 所以∠BDP =∠A+ ∠AFD=20°+70°=90° 由题意可得， ∠A=∠P=20° 即 解： ∠BDP =90 20 20 90 50 12 所以∠BDQ +∠CEQ = + =2∠DAE 47 【例】将一张三角形纸片ABC的一角折叠， (2)如图2，若使点A落在△ABC内的Q处，折痕为DE，若∠BDQ=38，∠CEQ=56， 则∠A的大小为________. 图2 Q C B A E D 分析： 在△ADQ和△AEQ中应 用外角性质求解角度 ∠BDQ和∠CEQ没有 出现在某个三角形中 连接AQ构造 △ADQ和△AEQ ∵∠BDQ为△ADQ的外角， ∴∠BDQ = ∠DAQ + ∠DQA ∵∠CEQ为△AEQ的外角， ∴∠CEQ = ∠EAQ + ∠EQA 由题意知： ∠DAE=∠DQE ∠DQE ∠DAE 即∠DAE=