第2章 第3节 函数的奇偶性、周期性与对称性（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第三节　函数的奇偶性、周期性与对称性 开始 1 第三节　函数的奇偶性、周期性与对称性 1.结合具体函数，了解奇、偶函数的概念和几何意义. 2.结合三角函数，了解函数周期性的概念和几何意义. 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且______________，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于____ 对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且______________，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于____对称 1．函数的奇偶性 f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点 2.函数的周期性 周期 函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_____________，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期 最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____的正数，那么这个__________就叫做f(x)的最小正周期 f(x＋T)＝f(x) 最小 最小正数 3．函数的对称性 (1)①若函数y＝f(x)关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)； ②若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数关于点_____对称． (2)两个函数图象的对称 ①函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于_____轴对称； ②函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于_____轴对称； ③函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于_____对称． (a,0) y x 原点 答案：A　 解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以只有选项A符合，故选A. [一“点”就过] 函数奇偶性的判定方法 定义法 图象法 性质法 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇 [方法技巧]　奇偶性的应用类型及解题策略 求解析式 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f(x)的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式 求函数值 利用函数的奇偶性将待求函数值转化为已知区间上的函数值，进而求解 求参数值 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得出参数的值．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解 解不等式 利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，将问题转化到同一单调区间内求解，涉及偶函数时常用f(x)＝f(|x|)，将问题转化到区间[0，＋∞)上求解 续表 “课时验收评价”见“课时验收评价（八）” (单击进入电子文档) 57 谢 谢 观 看 58 4．奇函数的特殊性质 (1)若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若f(x)存在最值，则f(x)min＋f(x)max＝0. (2)若F(x)＝f(x)＋c，f(x)为奇函数，则F(－x)＋F(x)＝2c.特别地，若F(x)存在最值，则F(x)min＋F(x)max＝2c. 5．函数周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)； (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)； (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． 6．函数对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称． 1．(多选)下列给出的函数是奇函数的是(　 ) A．y＝ B．y＝ C．y＝x3＋1 D．y＝sin x 答案：ABD　 解析：在A中，y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，因为f(－x)＝－＝－f(x)，所以y＝为奇函数．在B中，y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，f(－x)＝＝－f(x)，所以y＝为奇函数．在C中，y＝x3＋1的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以y＝x3＋1不是奇函数．在D中，y＝sin x的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝sin(－x)＝－sin x＝－f(x)，所以y＝sin x是奇函数，故选A、B、D. 2．已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝2x＋2，则f(1)＝________. 答案：－ 3．