21.3 实际问题与一元二次方程（讲+练，九大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（人教版）

21.3 实际问题与一元二次方程 1. 会分析实际问题中蕴含的数量关系，找出等量关系,列出一元二次方程解决实际问题，并根据具体问题的实际意义,取符合实际意义的解作答 2. 经历分析和解决实际问题的过程,体会一元二次方程的数学建模作用 3. 体会数学来源于实践,反过来又作用于实践,增强应用数学的意识. 知识点一 列一元二次方程解实际问题的一般步骤 1.列方程解实际问题的实质 列方程解实际问题就是先把实际问题抽象为数学问题(即转化)然后通过解决数学问题来解决实际问题。 2. 列一元二次方程解实际问题的一般步骤 (1) 审:是指审清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的数量关系. (2) 设:是指设元,也就是设未知数,设元又分直接设元和间接设元.所谓直接设元就是问什么设什么;如果直接设元列方程比较难或列出的方程比较复杂,这时可以考虑间接设元,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的,但更便于列出方程,因此间接设元也是常用的一种方法. (3) 列:列方程,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系,然后列代数式表示这个等量关系，就得到含有未知数的等式，即方程. (4) 解:解方程,求出未知数的值. (5) 验:检验方程的解是否正确及能否使实际问题有意义. (6) 答:回答问题一定要遵循“问什么答什么，怎样问就怎样答”的原则. 简记：审设列解验答。 即学即练（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）十二大报告指出：中国特色粮食安全之路必将越走越宽广．2019年全国粮食总产量为13277亿斤，2021年达到13657亿斤．若2019年到2021年的粮食总产量的年平均增长率相同，设2019年到2021年的粮食总产量的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点二 列一元二次方程解常见的实际问题 常见题型 列方程的理论依据 行程问题 路程=速度×时间 平均增长率(降低率)问题 为起始量,为终止量，为增长(或降低)的次数， 平均增长率公式:(为平均增长率) 平均降低率公式:(为平均降低率) 传播问题 传播的第二轮可以抽象为一元二次方程，设为传染源数，为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染总个数为 销售利润问题 利润=售价-进价; ； 售价=进价×(1+利润率); 总利润=总售价－总成本=单件利润×总销售量 几何图形问题 利用几何图形的面积、周长公式 存款利息问题 本息和＝本金+利息;利息＝本金×利率×期数 数字问题 两位整数＝十位数字×10＋个位数字; 三位整数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字 工程问题 一般情况把工作总量设为单位“1” 当甲独立完成整个工作时，工作时间与工作效率互为倒数 工作效率×工作时间＝工作总量 动态几何问题 运用几何知识以及行程公式， 一般采用间接设元的方法 即学即练 （2023·安徽合肥·统考三模）如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒人感染后，经过两轮传播，共有人感染． (1)平均每人每轮感染多少人？ (2)第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的，这样第三轮传播后感染的人数只是第二轮传播后感染人数的倍，求的值． 题型一 传播问题 例1 （2023秋·宁夏石嘴山·九年级校考期末）有一人患流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，若要求出未知数x，则应列出方程： （列出方程即可，不要解方程）． 举一反三1 （2023·广东阳江·统考一模）自年月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小区有位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有人患了甲流． (1)每轮感染中平均一个人传染几人？ (2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？ 举一反三2 （2023秋·广东惠州·九年级统考期末）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有人参加活动，可列方程为（　　） A． B． C． D． 题型二 增长率问题 例2 （2023秋·辽宁辽阳·九年级统考期末）某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元，设该公司这两年缴税的年均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 举一反三1 （2023·广东湛江·统考二模）某超市一月份的营业额为300万元，第一季度的营业额共1200万元，如果平均每月增长率为，则由题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 举一反三2 （2023秋·江西萍乡·九年级统考期末）某市政府决定改善城市面貌，绿化环境，计划经过两年时间绿化面积增加，这两年平均每年绿化面积的增长