第二十一章 一元二次方程 单元试卷 2023-2024学年人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程 一、选择题 下列方程中，是关于 的一元二次方程的是 A． B． C． D． 已知 是方程 的一个根，则代数式 的值为 A． B． C． 或 D． 用配方法解方程 ，配方正确的是 A． B． C． D． 如图，在一幅长 ，宽 的矩形树叶画四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是 ，设金色纸边的宽为 ，则满足的方程是 A． B． C． D． 关于 的一元二次方程 有两个实数根，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 某商品价格经过两次降价后，由原来的每千克 元下调至每千克 元，设平均每次降价百分率为 ，则下列方程正确的是 A． B． C． D． 三角形两边长分别是 和 ，第三边长是一元二次方程 一个实数根，则该三角形的面积是 A． B． C． 或 D． 若 是方程 的一个根，设 ，，则 与 的大小关系为 A． B． C． D．不能确定 二、填空题 方程 的解是 ． 已知一元二次方程 有一个根为 ，则另一根为 ． 关于 的方程 是一元二次方程，则 ． 有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感．假设每轮传染中，平均一个人传染了 个人，依题意可列方程，得 ． 如图，某单位院内有一块长 ，宽 的长方形花园，计划在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的道路（所有道路的进出口宽度都相等，且每段道路的对边互相平行），其余的地方种植花草．已知种植花草的面积为 ，设道路进出口的宽度为 ，根据条件，可列出方程 ． 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 ，则每个支干长出 小分支． 我国南宋数学家杨辉在 年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？若设阔（宽）为 步，则所列方程为 ． 关于 的一元二次方程 的两个实数根是 和 ，若 ，则 的值为 ． 三、解答题 解关于 的方程． (1) ． (2) （配方法）． 已知关于 的方程 （ 为常数）． (1) 求证：不论 为何值，该方程总有实数根； (2) 若该方程有一个根是 ，求 的值． 如图，某工地在直角墙角处，用可建 米长围墙的建筑材料围成一个矩形堆物场地，中间用同样的材料分隔为两间，要使所围成的矩形 和矩形 的面积分别是 和 ，求 的长． 某水果批发商场经销一种高档水果．如果每千克盈利 元，可售出 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 元，日销售量将减少 千克，现该商场要保证每天盈利 元．同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 已知关于 的方程 有两个实数根 ，． (1) 求实数 的取值范围． (2) 若 ， 满足 ，求实数 的值． 法国数学家佛郎索瓦 韦达于 年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容如下：在一元二次方程 ，它的两根 ， 有如下关系：，． 韦达定理还有逆定理，它的内容如下：如果两数 和 满足如下关系：，，那么这两个数 和 是方程 的根，通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和积的关系构造一元二次方程，例如：，，那么 和 是方程 的两根．请应用上述材料解决以下问题： (1) 已知 ， 是两个不相等的实数，且满足 ，，求 的值． (2) 已知实数 ， 满足 ，，求 的值． $$